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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 55

O pêndulo consiste de uma esfera de 5   k g e uma barra de 2   k g . Se ele é solto do repouso quando θ = 90 ° , determine o ãngulo θ de repique após a esfera bater no chão. Considere e = 0,8 .

Passo 1

Ao soltar o pêndulo até o choque com o chão, a energia mecânica do movimento angular é conservada. Como ilustrado no esquema abaixo, tomando como referência o momento em que o pêndulo toca o chão, a energia potencial é convertida em energia cinética.

O momento de inércia do sitema em torno de O será:

I O = 1 3 m b L b 2 + 2 5 m e r e 2 + m e d 2

I O = 1 3 2 0,6 2 + 2 5 5 0,09 2 + 5 0,69 2 = 2,6367   k g . m 2

Assim, temos:

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

1 2 I G ω 1 2 + W b ( y b O ) 1 + W e ( y e O ) 1 = 1 2 I G ω 2 2 + W ( y b O ) 2 + W e ( y e O ) 2

0 + 2 9,81 0,3 + ( 5 ) ( 9,81 ) ( 0,69 ) = 1 2 2,6367 ω 2 2 + 0

ω 2 = 5,490   r a d / s

Como o ponto de contato entre o pêndulo e o chão é na esfera, obtemos:

v 2 = 0,69 5,490 = 3,788   m / s

Passo 2

Ao tocar no chão, deve-se calcular a nova velocidade angular do pêndulo através da seguinte equação:

e = ( v B ) 3 - ( v A ) 3 ( v A ) 2 - ( v B ) 2

0,8 = v 3 - 0 0 - ( - 3,788 )

v 3 = 3,030   m / s

Portanto,

ω 3 = v 3 0,69 = 3,030 0,69 = 4,392   r a d / s

Passo 3

O ângulo θ pode ser obtido relacionando as velocidades de colisão e pós-colisão através da equação da conservação da energia. As cotas da energia potencial podem ser vistas no diagrama abaixo.

T 3 + V 3 = T 4 + V 4

1 2 I G ω 3 2 + W b ( y b O ) 3 + W e ( y e O ) 3 = 1 2 I G ω 4 2 + W ( y b O ) 4 + W e ( y e O ) 4

1 2 2,6367 4,392 2 + 0 = 0 + 2 9,81 0,3 s e n θ + 5 9,81 0,69 s e n θ

θ = 39,8 °

Resposta

O ângulo máximo θ de repique após ele colidir com a chão é igual a 39,8°.

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