Enunciado

Uma porção de uma barra de aço quadrada, de 22   m m de lado, foi usinada produzindo um cilindro de diâmetro 22   m m , como mostrado. Sabendo-se que a tensão normal admissível do aço é σ a d m = 150   M P a e E = 200   G P a , determinar, para o carregamento mostrado, a máxima energia de deformação que pode ser acumulada pela barra A B C .

Passo 1

Faaaala, meus queridos! Prontos para uma questão de energia de deformação?

O enunciado quer que a gente calcule a máxima energia de deformação U de uma barra A B C sob carga P . A barra é formada por duas barras: B C (barra quadrada) e A B (cilindro). A barra B C possui área de seção transversal constante igual a A B C e lado l B C . A barra A B possui área de seção transversal constante igual a A A B e diâmetro D A B .

U A B e U B C são as energias de deformação das barras A B e B C respectivamente. L A B e L B C são os comprimentos das barras A B e B C respectivamente.

Como precisamos calcular a máxima energia de deformação U , a força P que age sobre a barra A B C deve ser a parior força possível! Logo, P é a máxima tensão σ a d m vezes a área A A B .

P = σ a d m × A A B

Mas por que usamos a área A A B e não a área A B C ?

Porque a área A A B é menor que a área A B C . Temos que usar a menor área, porque as menores áreas geram as maiores tensões! Logo, a menor área alcança a tensão limite σ a d m para menores cargas P .

A ↓       ⟹       σ ↑

Como podemos ver na figura acima, a barra A B C é a soma das barras A B e B C . Por causa disso, a energia de deformação U da barra total tem que ser igual à soma entre a energia de deformação U B C da barra mais grossa e a energia de deformação U A B da barra mais fina.

U = U B C + U A B

A fórmula que calcula as energias de deformação de barras com áreas da seção transversal constantes é a fórmula 10.14 do livro.

Usaremos essa fórmula para U A B e U B C .

U A B = P 2 L A B 2 A A B E

U B C = P 2 L B C 2 A B C E

onde E é o módulo de elasticidade que vale 200   G P a segundo o enunciado.

Agora que temos todas essas informações em mãos, vamos calcular a energia de deformação U da barra toda nos próximos passos!

Passo 2

Nesse passo nós vamos calcular as áreas A A B e A B C em m 2 , além de calcular o valor de P em newton N .

A B C = l B C 2       ⟹       A B C = 22 2     ⟹       A B C = 484   m m 2       ⟹       A B C = 484 × 10 - 6   m 2

A A B = π × D A B 2 4       ⟹       A A B = π × 22 2 4       ⟹       A A B = 380   m m 2       ⟹       A A B = 380 × 10 - 6   m 2  

Primeira etapa cumprida! Vamos achar a força P agora!

Mas antes, temos que lembrar que a tensão admissível σ a d m = 150   M P a vale σ a d m = 150 × 10 6   P a .

P = σ a d m × A A B       ⟹       P = 150 × 10 6 × 380 × 10 - 6       ⟹       P = 57000   N

Passo 3

Agora sim estamos prontos para calcular U !

No entanto, ainda temos que converter E de G P a para P a , multiplicando E por 10 9 .

E = 200   G P a       ⟹       E = 200 × 10 9   P a

Sabendo disso, somos capazes de achar U A B e U B C .

U A B = P 2 L A B 2 A A B E       ⟹       U A B = 57000 2 × 0,23 2 × 380 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U A B = 4,92   J

U B C = P 2 L B C 2 A B C E       ⟹       U B C = 57000 2 × 0,38 2 × 484 × 10 - 6 × 200 × 10 9       ⟹       U B C = 6 , 38   J

U é a soma desses dois valores! Logo:

U = U A B + U B C       ⟹       U = 4,92 + 6,38       ⟹       U = 11,3   J

Mais uma questão concluída!!!

Resposta

U = 11,3   J

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