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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 63

Nas posições mostradas nas figuras, a barra AB tem uma velocidade angular de 4   r a d   / s no sentido horário. Determine as velocidades angulares das barras BD e DE.

Passo 1

E ai meus caros! Simbora pra mais uma questão do Beer!

Bom! A gente quer determinar as velocidades angulares das barras B D e D E !

Portanto se liga, no macete que o produtor aqui vai passar! Pra resolver essa questão, a gente não vai precisar usar um monte de figuras e tal!

Isso porque a posição das barras facilitam e muito a nossa vida! Nós vamos precisar é fazer uso dos versores! Mas calma que o produtor aqui vai explicar esse troço!

Versores  são vetores unitários que apresentam a mesma orientação de um eixo! Por conveniência, nesse caso em que estamos estudando a cinemática de corpo rígido, iremos usar os versores i ^ , j ^ e k ^ ... E logo abaixo, está a situação em que devemos usá-los...

i ^ → E i x o   x

j ^ → E i x o   y

k ^ → S e n t i d o   d e   r o t a ç ã o   ( - k ^   p a r a   o   h o r á r i o   e   k ^   p a r a   o   a n t i - h o r á r i o )

Feshow!? Agora, vamos posicionar um eixo de coordenadas naquela figura do enunciado...

Outra coisa que é importante saber também é a tabela de produto vetorial entre versores...

Passo 2

Vamos começar pela barra A B . A barra está girando a 4   r a d / s no sentido horário. Logo...

ω A B = 4   r a d / s ⤾ = ( 4   r a d / s ) ( - k ^ )

ω → A B = - 4 k ^   r a d / s

E o vetor de posição de B em relação a A , é dado por...

r → B / A = ( 175   m m ) ( - i ^ )

r → B / A = - 175 i ^   m m

Logo, a velocidade em B vai ser dada por...

v → B = ω → A B × r → A B

v → B = ( - 4 k ^   r a d / s ) × ( - 175 i ^   m m )

v → B = ( 700 j ^ )   m m / s = 0,7 j ^   m / s

Passo 3

Em seguida, vamos partir pra barra B D . A velocidade angular dela, que ainda não sabemos, é dada por...

ω → B D = ω B D k ^

E a velocidade em D vai ser dada pela soma da translação em B   mais rotação sobre B ...

v → D = v → B + ω → B D × r → D / B

Como o vetor posição de D pra B é dado por...

r → D / B = ( 200   m m ) ( - j ^ )

r → D / B = - 200 j ^   m m = - 0,2 j ^   m

Desse modo...

v → D = v → B + ω → B D × r → D / B

v → D = 0,7 j ^   + ω B D k ^ × ( - 0,2 j ^   m )

v → D = ( 0,7 j ^   + 0,2 ω B D i ^ )   m / s

Passo 4

Continuando nossa raciocínio, vamos agora barra D E . A velocidade angular dela, que ainda não sabemos, é dada por...

ω → D E = ω D E k ^

Como a velocidade vai ser dada apenas pela rotação, já que E está fixo. Podemos determinar a velocidade em D como...

v → D = ω → D E × r → D / E  

Como o vetor posição de D pra E é dado por...

r → D / E = - 275 i ^ + 75 j ^   m m

r → D / B = - 0,275 i ^ + 0,0 75 j ^   m

Desse modo...

v → D = ω → D E × r → D / E  

v → D = ω D E k ^ × [ - 0,275 i ^ + 0,0 75 j ^   m ]

v → D = - 0,275 ω D E j ^ - 0,0 75 ω D E i ^   m / s

Passo 5

Agora, é só uma questão de igualar as velocidades em D que obtivemos nos P a s s o s 3 e 4 ...

v → D = ( 0,7 j ^   + 0,2 ω B D i ^ )   m / s = - 0,275 ω D E j ^ - 0,0 75 ω D E i ^   m / s

Relacionandos as partes com os mesmos versores. Em j ^ , temos que...

0,7 = - 0,275 ω D E

ω D E = - 0,7 0,275

ω D E = - 2,545   r a d / s   ⤾

Em i ^ , por sua vez...

0,2 ω B D = - 0,0 75 ω D E

ω B D = - 0,0 75 0,2 ω D E

ω B D = - 0,0 75 0,2 ⋅ ( - 2,545   r a d / s )

ω B D = 0,0954   r a d / s   ⤿

Quando o sinal dá negativo, é porque a barra gira no sentido horário! Quando dá positivo, é porque o sentido é anti-horário! Isso segundo a convenção que adotamos!

Pronto! Conseguimos obter as velocidades angulares de B D e D E !

Bora pra frente que atrás vem gente!

Resposta

ω B D = 0,0954   r a d / s   ⤿

ω D E = - 2,545   r a d / s   ⤾

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