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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 27

O poste de madeira, o qual está enterrado no solo até a metade de seu comprimento, é submetido a um momento de torção de 50   Nm que o faz girar a uma velocidade angular constante. Esse momento enfrenta a resistência de uma distribuição linear de torque desenvolvida pelo atrito com o solo, que varia de zero no solo a t 0   Nm/m na base do poste. Determine o valor de equilíbrio para t 0 e, então, calcule a tensão de cisalhamento nos pontos A e B que se encontram na superfície externa do poste.

Passo 1

Um poste está parcialmente enterrado e sofre uma torção T = 50   Nm .

O atrito com o solo resiste à torção com uma distribuição linear de torque. Essa distribuição vale zero em A (onde o solo começa) e t 0   Nm/m na extremidade enterrada do poste ( C ) .

Características do poste:

  • Raio: r = 50   mm .
  • Momento polar de inércia: J = π r 4 / 2 = 9817477,042   mm 4 .
  • Distância de A até a extremidade enterrada: L A C = 0,75   m .
  • Distância de A até B : L A B = 0,5   m .

A questão diz que a torção faz o poste girar a uma velocidade constante. Opa, então significa que ele está em equilíbrio!

Queremos saber o valor de t 0 para esse equilíbrio acontecer.

Depois queremos as tensões de cisalhamento τ A em A e τ B em B . Os pontos ficam na superfície do poste.

A tensão no eixo não pode ultrapassar τ A d m = 28   MPa . Vamos precisar da fórmula da torção:

Primeiro vamos entender melhor como esse torque distribuído atua.

Passo 2

O atrito causa um torque distribuído. Sabemos que o torque distribuído vale zero em A . Também sabemos que ele termina como t 0 a uma distância 0,75   m de A . Como ele varia linearmente, podemos escrever o valor q ( x ) desse torque distribuído a uma distância x de A :

q x = 0 + t 0  Nm/m - 0 0,75   m - 0 ⋅ x   m

q x = t 0 0,75 x   Nm/m

Essa expressão nos dá o valor da distribuição de torque em qualquer ponto a x metros de A

Se quisermos saber qual é o torque gerado por esse atrito de A até uma distância x qualquer, precisamos somar as contribuições de A até esse ponto x . Ou seja, temos que integrar:

T s o l o x = ∫ 0 x q χ   d χ = ∫ 0 x t 0 0,75 χ   d χ

Não se assuste com o χ , é só frescura para não confundir com o x no limite de integração! Agora, como t 0 é constante, temos

T s o l o x = t 0 0,75 x 2 2 - 0 2 2

T s o l o x = t 0 1,5 x 2   Nm

Não esqueça que x tem que ser substituído por valores em metros!

Beleza, agora a gente consegue saber o torque de resistência pra qualquer parte do poste. Bora finalmente resolver as perguntas!

Passo 3

Queremos o valor de t 0 que causa equilíbrio. O torque de forçamento T = 50   Nm vai ser resistido pelo torque causado em todo o poste. O torque de resistência vai usar o comprimento L A C todo:

T s o l o L A C = t 0 1,5 L A C   Nm = t 0 1,5 0 , 75   Nm = 0,75   t 0 2 Nm

E pelo equilíbrio:

∑ M = 0       →         T = T s o l o ( L A C )

50   Nm = 0,75   t 0 2 Nm

t 0 = 133,33

Já tínhamos definido a unidade do   t 0 lááá antes como Nm /m , como pedia o enunciado.

Passo 4

Agora vamos procurar as tensões em A e B . Fórmula da torção:

τ = T   r J

Como os pontos estão na superfície do poste, sabemos que r = 50   mm . Precisamos achar o torque interno T A em A e T B em B . Vamos fazer isso usando mais uma vez o fato de que o poste está em equilíbrio.

Em A não tem atrito ainda, então para termos equilíbrio:

T A = T = 50   Nm

Em B estamos a uma distância L A B = 0,5   m de A . Usando a fórmula do Passo 2 e t 0 = 133,33 ,

o torque de resistência vai ser

T s o l o x = t 0 1,5 x 2   Nm       →         T s o l o L A B = 133,33 1,5 0,5 2   Nm

T s o l o L A B = 22,22   Nm

O torque interno T B vai ser o quanto falta para termos equilíbrio:

∑ M = 0       →         T = T s o l o L A B + T B

T B = 27,78   Nm

Passo 5

Só sobrou fazer umas continhas para as tensões:

τ = T   r J       →         τ A = 50   Nm ⋅ 50   mm 9817477,042   mm 4

τ A = 0,255   MPa

Show! E agora pra B :

τ = T   r J       →         τ B = 27,78 ⋅ 50   mm 9817477,042   mm 4

τ B = 0,141   MPa

Resposta

Valor de t 0 para equilíbrio: t 0 = 133,33   Nm ,

Tensão de cisalhamento no ponto A : τ A = 0,255   MPa .

Tensão de cisalhamento no ponto B : τ B = 0,141   MPa .

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