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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 65

Resolver o P r o b . 6.64 , quando

  1. tau_x y = 75 M P a
  2. tau_x y = 90 M P a

Passo 1

Para resolver esse tipo de questão, temos que conhecer um pouco sobre o estado triaxial de tensões, o que vai facilitar em muito a nossa vida na hora de calcular o nosso objetivo, que é determinar a tensão máxima de cisalhamento.

Para fazer isso, é muito simples, pensa em um circulo de mohr que representasse as tensões principais em mais de uma direção, se formos pensar nele assim, sabemos que ele vai ter a seguinte cara:

Sabemos que o raio da maior circunferência é exatamente a máxima tensão cisalhante que ocorre no nosso elementinho, e podemos calcular o raio da circunferência da seguinte maneira:

tau_M a x = (sigma_1 - sigma_3)/(2)

E sabemos que as tensões sigma_1 e sigma_3 são tensões principais, ou seja, que ocorrem em planos sem tensão cisalhante.

Com todas essas informações, já podemos resolver o nosso problema, vamos nessa?

Passo 2

Olhando o nosso elemento finito, temos que os dois casos dados são:

Perceba que a tensão em z é zero, e que os planos perpendiculares a direção z não possuem tensões cisalhantes, ou seja, a tensão em z já é uma tensão principal, mas não sabemos qual das 3, sendo assim temos que:

sigma_z = 0 {[[sigma_1],[sigma_2],[sigma_3]])

Para sabermos exatamente quais as tensões principais totais, precisamos calcular as tensões principais do outro plano, com isso temos a seguinte situação:

Como nosso objetivo agora é determinar as tensões principais, temos as seguintes equações pra isso:

sigma_1 = sigma_m e d + R

sigma_2 = sigma_m e d - R

Sabemos que:

sigma_m e d = (sigma_x + sigma_y)/(2)

R = sqrt(((sigma_x - sigma_y)/(2))^2 + (tau_x y)^2)

Com isso vamos ter que:

  1. tau_x y = 75 M P a

    2. Substituindo temos que:

    sigma_m e d = (sigma_x + sigma_y)/(2) = (120 + 60)/(2) = 90 M P a

    R = sqrt(((120 - 60)/(2))^2 + (75)^2) = 80,8 M P a

    sigma_1 = sigma_m e d + R = 90 + 80,8 = 170,8 M P a

    sigma_2 = sigma_m e d - R = 90 - 80,8 = 9,2 M P a

    Ou seja, se montarmos o nosso círculo, teremos que:

    Calculando o raio, teremos que:

    tau_M a x = (170,8 - 0)/(2) = 85,4 M P a

  2. tau_x y = 9 0 M P a

Substituindo temos que:

sigma_m e d = (sigma_x + sigma_y)/(2) = (120 + 60)/(2) = 90 M P a

R = sqrt(((120 - 60)/(2))^2 + (90)^2) = 94,9 M P a

sigma_1 = sigma_m e d + R = 90 + 94,9 = 184,9 M P a

sigma_2 = sigma_m e d - R = 90 - 94,9 = - 4,9 M P a

Ou seja, se montarmos o nosso círculo, teremos que:

Calculando o raio, teremos que:

tau_M a x = (184,9 - ( - 4,9 ))/(2) = 94,9 M P a

Resposta

  1. tau_M a x = 85,4 M P a
  2. tau_M a x = 94,9 M P a
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