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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 54

Resolver o P r o b . 4 . 5 3 , considerando a viga composta do P r o b . 4.42 .

Passo 1

Quando temos mais de um material na nossa barra precisamos converter todos ela para um deles para facilitar o nosso cálculo.

Sabemos que o nosso fator a ser calculado é dado por:

n = (E_p a r t e t r a n s f o r m a d a)/(E_p a r t e i n t a c t a)

Vamos então fazer o seguinte, vamos manter como intacto o Aço, e vamos transformar em aço a madeira, sendo assim vamos ter um fator de transformação, sendo assim teremos que:

n_m a d e i r a = (E_m a d e i r a)/(E_a ç o) = (12)/(200) = 0,06

Agora precisamos modificar a largura da chapa de madeira, e como ela era a transformada, então o aço vai se manter, e a madeira vai ser modificado:

b^' = n b

b^'_m a d e i r a - a ç o = n_m a d e i r a b_m a d e i r a = 0,060 . 150 = 9 m m

Sendo assim a nova seção é dada por:

O nosso objetivo é determinar o raio de giração, e sabemos que o cálculo é feito da seguinte maneira:

(1)/(rho) = (M)/(I E)

rho = (E I)/(M)

Sendo assim o mais difícil que temos que determinar, é a LN e o momento de inércia. Então vamos lá.

Começando pela linha neutra teremos que:

  • Primeiro dividir a seção em seções mais simples e numerar elas.

  • Em segundo precisamos determinar as áreas de cada uma das regiões e para isso precisamos das medidas do enunciado.

    • As áreas são:

  • Em terceiro, precisamos determinar uma origem, porque vai ser com relação com essa origem que vamos determinar a distância dos centroides de cada um dos elementos mais simples. Eu geralmente uso a base do elemento como origem, sendo assim teremos que:

  • Por fim precisamos usar a seguinte fórmula para determinar a LN, sendo assim teremos que:

overset(-)(y) = (sum A_i overset(-)(y)_i)/(sum A_i)

Com isso teremos que:

overset(-)(y) = (A_1 overset(-)(y)_1 + A_2 overset(-)(y)_2)/(A_1 + A_2)

Substituindo teremos que:

overset(-)(y) = (2700 . 155 + 700 . 2 , 5)/(2700 + 700) = 123,6 m m

E assim temos que:

Passo 2

Como já temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e com isso vamos seguir o seguinte passo a passo.

  • I

    Para ele precisamos fazer a seguinte relação.

    • Numeração das regiões

      • Olha como esse macetinhos nos ajuda bastante.

    • Área das regiões

    • Distância do centroide das áreas até a LN – aqui que vamos precisar da nossa LN

    • Momento de inércia de cada região

Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

I = sum I_i + A_i d_i^2

Sendo assim teremos que:

I = I_1 + A_1 d_1^2 + I_2 + A_2 d_2^2

I = 20250000 + 2700 . 31,4^2 + 1458,3 + 700 . 121,1^2

I = 33179197,3 m m^4

Passo 3

O raio de giração é calculado pela seguinte equação:

rho = (E I)/(M)

Sabemos que:

M = 50 k N m = 50000000 N m m

Como mudamos tudo para aço, podemos usar o modulo de elasticidade do aço.

E = 200 G P a = 200000 (N)/(m m^2)

Substituindo teremos que:

rho = (200000 [(N)/(m m^2)] 33179197,3 [m m^4])/(50000000 [N m m]) = 132718 m m = 132,7 m

Resposta

rho = 132,7 m

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