Um torque T é aplicado como mostrado a um tronco de cone maciço AB. Mostrar por integração que o ângulo de torção em A é:

ϕ A = 7 T L 12 π G c 4

Passo 1

Para facilitar tudo, vamos desenhar um prolongamento no nosso tronco de cone:

Primeiro vamos definir o momento de inércia polar. Para isso, vamos considerar a seção qualquer (destacada em verde escuro) de raio ρ e espessura d y . O momento de inércia polar em função de ρ   será:

J ρ = π ⋅ ρ 4 2

E por semelhança de triângulos, podemos definir ρ em função de y :

ρ y = c L

ρ = y ⋅ c L

Aplicando no momento de inércia polar:

J = π ⋅ ρ 4 2 = π 2 ⋅ y ⋅ c L 4 = π c 4 2 L 4 ⋅ y 4

Passo 2

Podemos dizer que o ângulo de torção é dado por:

d ϕ = T G J d y

Aplicando o valor do momento de inércia:

d ϕ = T G ⋅ π c 4 2 L 4 ⋅ y 4 d y

Reorganizando:

d ϕ = 2 L 4 T G π c 4 ⋅ d y y 4

Passo 3

Agora a hora favorita da galera: HORA DA INTEGRAÇÃO

Vamos lá. Aqui basta ter cuidado com os limites de integração. Lá no Passo 1, a gente completou o troco de cone para fazer um triângulo. Isso quer dizer que o nosso limite de integração não deve começar em 0 , mas sim em L e variar até 2 L

∫ d ϕ = ∫ L 2 L 2 L 4 T G π c 4 ⋅ 1 y 4 d y

Mas não se preocupe, que dá para resolver a integral com tranquilidade.

Primeiro colocamos as constantes para fora:

∫ d ϕ = 2 L 4 T G π c 4 ∫ L 2 L 1 y 4 d y

ϕ = 2 L 4 T G π c 4 ∫ L 2 L 1 y 4 d y

E trocamos 1 y 4 ⇒ y - 4

ϕ = 2 L 4 T G π c 4 ∫ L 2 L y - 4 d y

E aplicamos a integração dos dois lados:

ϕ = 2 L 4 T G π c 4 - 1 3 ⋅ 1 y 3 L 2 L

Aplicamos os limites:

ϕ = - 2 L 4 T 3 G π c 4 1 2 L 3 - 1 L 3

Vamos fazer um pouco de álgebra

ϕ = - 2 L 4 T 3 G π c 4 1 8 L 3 - 1 L 3

ϕ = 7 L 4 T 12 G π c 4 L 3

Chegamos na resposta:

ϕ = 7 L T 12 π G c 4

Resposta

ϕ = 7 L T 12 π G c 4

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