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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 47

O eixo de aço A-36 é composto pelos tubos A B e C D e uma seção maciça B C . Está apoiado em mancais lisos que permitem que ele gire livremente. Se as engrenagens, presas às extremidades do eixo, forem submetidas a torques de 85   N · m , determine o ângulo de torção da engrenagem A em relação à engrenagem D . Os tubos têm diâmetro externo de 30   m m e diâmetro interno de 20   m m . A seção maciça tem diâmetro de 40   m m .

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem? Vamos analisar essa questão?

O problema pede que determinemos o ângulo de torção da engrenagem A em relação à engrenagem D , e para tal nos fornece:

d 0 A B = d 0 ( C D ) = 30   m m = 0,03   m

d i ( A B ) = d i ( C D ) = 20   m m = 0,02   m

d B C = 40   m m = 0,04   m

L A B = L C D = 400   m m = 0,4   m

L B C = 250   m m = 0,25   m

Aço A-36, portanto, G a ç o = 75 ⋅ 10 9   P a

Vamos primeiro fazer o nosso diagrama de corpo livre:

Cortando uma seção através do eixo A B e fazendo o somatório do momento, temos:

∑ M x = 0

T A - T A B = 0

T A B = 85   N m

Agora cortando uma seção através do eixo B C :

∑ M Z = 0

T A - T B C = 0

T B C = 85   N m

Para encontrar os ângulos de torção, utilizaremos a fómula:

ϕ = T L J G

Vamos primeiro calcular o ângulo de torção A B :

ϕ A B = T A B L A B J A B G a ç o

O momento polar de inércia, J , é dado por:

J A B = π 2 ⋅ ( c 0 A B 4 - c i ( A B ) 4 )

Substituindo J na fórmula do ângulo de torção, temos:

ϕ A B = 2 ⋅ T A B L A B π ⋅ c 0 A B 4 - c i A B 4 ⋅ G a ç o

Com os dados fornecidos no problema, divindindo os diâmetros por 2 para obter o raio, calculamos:

ϕ A B = 2 ⋅ 85 ⋅ 0,4 π ⋅ 0,015 4 - 0,01 4 ⋅ 75 ⋅ 10 9

ϕ A B = 0,007104   r a d

Como o tubo A B é igual ao tubo C D :

ϕ C D = 0,007104   r a d

Passo 2

Vamos agora calcular o ângulo de torção B C :

ϕ B C = T B C L B C J B C G a ç o

O momento polar de inércia, J , é dado por:

J B C = π 2 ⋅ ( c B C 4 )

Substituindo J na fórmula do ângulo de torção, temos:

ϕ B C = 2 ⋅ T B C L B C π ⋅ c B C 4 ⋅ G a ç o

Divindindo o diâmetro por 2 para obter o raio e substituindo os dados fornecidos:

ϕ B C = 2 ⋅ 85 ⋅ 0,25 π ⋅ 0,02 4 ⋅ 75 ⋅ 10 9

ϕ B C = 0,001127347   r a d

Passo 3

Tendo calculado os valores de ϕ A B , ϕ B C e ϕ C D , podemos então determinar o ângulo de torção da engrenagem A em relação à engrenagem D .

ϕ A / D = ϕ A B + ϕ B C + ϕ C D

ϕ A / D = 0,007104 + 0,001127347 + 0,007104  

ϕ A / D = 0,0153353   r a d

Convertendo para graus:

ϕ A / D = 0,0153353   r a d ⋅ 180 ° π

ϕ A / D =   0,8786 °

Resposta

ϕ A / D =   0,8786 °

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