Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 76
Os trilhos de aço de uma ferrovia têm de comprimento e foram assentados com uma pequena folga entre eles para permitir a dilatação térmica. Determine a folga exigida para que os trilhos apenas encostem um no outro quando a temperatura aumentar de para . Considerando essa folga, qual seria a força axial nos trilhos se a temperatura atingisse ? A área de seção transversal de cada trilho é .
Passo 1
Trilhos de aço estão em sequência com uma folga de comprimento entre eles. Os trilhos são aquecidos.
Características dos trilhos:
- Aço : , . (tabelado)
- Área transversal:
- Comprimento inicial: .
- Temperatura inicial: .
Quando os trilhos aquecerem, eles irão expandir um comprimento .
Primeiro, queremos saber qual é o tamanho que a folga deve ter para que os trilhos depois de aquecidos apenas encostem um no outro. O aquecimento nesse caso foi até . A variação de temperatura aqui é:
Além disso, a questão nos pede pra ver outro caso. Se aumentarmos a temperatura para , os trilhos vão expandir mais que a folga , então vão começar a comprimir uns aos outros com uma força . Queremos essa força ! Nesse caso,
Passo 2
Na primeira situação, a variação de temperatura vai causar um aumento nos trilhos!
Quando o trilho se expande, ele aumenta o comprimento nas duas extremidades ao mesmo tempo. Como está tudo simétrico e homogêneo, cada extremidade aumenta !
Então, olhando pra uma extremidade, os aumentos de dois trilhos adjacentes vão cobrir a folga . Assim:
Fique atento que essas hipóteses nem sempre acontecem! Aqui tá bem fácil, bora pra fórmula!
Passo 3
Expansão térmica:
Maneiro, matamos a primeira parte da questão. Vamos ver agora o que acontece quando usamos .
Passo 4
Quando os trilhos esquentam demais, vamos ter dois efeitos:
- O aumento de temperatura vai causar uma expansão do tubo:
- A reação das turbinas vai comprimir o tubo, reduzindo: .
O macete aqui pra não se confundir é que a expansão de um trilho está ocorrendo nas duas extremidades dele, e cada trilho que está ao lado desse também está expandindo!
Pra ficar fácil, pense em movimento relativo! Fixe uma extremidade do trilho, imagine ele expandindo na outra. Ele tem um vão de até encontrar outro trilho que está fixo!
Então, o trilho expande , reduz e isso tem que resultar na folga .
Passo 5
Usando a fórmula da dilatação térmica e relação carga-deslocamento:
Resposta
Folga exigida para variação de : .
Força nos trilhos quando temperatura varia : .