Enunciado

Para a viga prismática mostrada, determinar:

  1. a declividade na extremidade B ;
  2. a deflexão no ponto médio C .

Passo 1

Oi, gente! Tudo bem com vocês? Bora calcular a declividade e a deflexão de uma viga através do Teorema de Castigliano?

Na letra (a) a questão pede para a gente calcular a declividade θ B da viga no ponto B . A declividade é a mesma coisa que o ângulo de inclinação θ B no ponto B da viga. Para conseguir fazer esse cálculo, vamos supor que existe um momento fictício M B que é aplicado nesse ponto B . A imagem abaixo mostra essa situação.

Esse momento M B vale zero, mas precisamos calcular o momento fletor da viga M como se M B de fato existisse. Desse jeito, podemos calcular θ B através de uma adaptação para o cálculo de declividades da equação 10.77 do livro que calcula deflexões de vigas sobre deflexão.

θ B = ∫ 0 L M E I ∂ M ∂ M B   d x

onde ∂ M ∂ M B é a derivada parcial do momento fletor M em relação ao momento fictício!

R A é a força de reação causada pela restrição no ponto A e R B é a força de reação causada pela restrição no ponto B . Precisamos de apenas uma dessas forças para encontrar o momento M . No próximo passo, calcularemos R A .

Passo 2

A primeira etapa para achar M é encontrar a reação R A , fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao ponto B .

Como o momento da força R A e o momento M B fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente desses momentos.

- M R A - M B + M 0 = 0

- R A L - M B + M 0 = 0

R A = - M B L + M 0 L

Agora estamos aptos a achar M ! Para achar M , precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra A B . Calcularemos o equilíbrio no ponto x .

Colocamos um sinal de menos na frente do momento M R A , porque ele faz a viga girar no sentido horário.

M 0 - M R A + M = 0

M 0 - R A x + M = 0

- M 0 - - M B L + M 0 L x + M = 0

M = M 0 x L + M 0 - M B x L

Com esse valor de M , podemos começar a calcular θ B , determinando quanto vale a derivada ∂ M ∂ M B .

Passo 3

Sem enrolação, vamos logo derivar o valor de M em relação a M B .

∂ M ∂ M B = ∂ M 0 x L + M 0 - M B x L ∂ M B

∂ M ∂ M B = - x L

Agora podemos achar θ B , substituindo ∂ M ∂ M B e M na integral do passo 1.

Antes de substituir os valores de ∂ M ∂ M B e M nas integrais, podemos definir M B = 0 logo para facilitar a integração. Por conta disso, M vale:

M = M 0 x L + M 0

M = M 0 x L + M 0

Agora sim fica melhor de substituir ∂ M ∂ M B e M na integral.

θ B = ∫ 0 L M 0 x L + M 0 E I × - x L   d x

Que monstrengo, né? Relaxa que, se a gente reorganizar os termos, a integral fica com a cara mais bonitinha!

θ B = ∫ 0 L - M 0 x 2 E I L 2 - M 0 x E I L   d x

Integrando a função:

θ B = - M 0 x 3 3 E I L 2 - M 0 x 2 2 E I L 0 L

Substituindo os limites de integração:

θ B = - M 0 L 3 3 E I L 2 - M 0 L 2 2 E I L

Colocando as frações no mesmo denominador, temos:

θ B = - 2 M 0 L 3 6 E I L 2 - 3 M 0 L 3 6 E I L 2

θ B = - 5 M 0 L 3 6 E I L 2

Proooonto! Achamos o resultado que a letra (a) da questão pediu!!! Agora vamos partir pra letra (b).

Passo 4

O enunciado pede para a gente calcular a deflexão y C no ponto médio C da viga. Para conseguir fazer esse cálculo, vamos supor que existe uma força fictícia Q que é aplicada nesse ponto C . A imagem abaixo mostra essa situação.

Essa força Q vale zero, mas precisamos calcular o momento fletor da viga M como se Q de fato existisse. Desse jeito, podemos calcular y C através da equação 10.77 do livro que calcula deflexões de vigas sobre deflexão.

y C = ∫ 0 L M E I ∂ M ∂ Q   d x

onde ∂ M ∂ Q é a derivada parcial do momento fletor M em relação à força fictícia Q !

Depois desse blábláblá, vamos começar a resolver o exercício calculando M .

Passo 5

A primeira etapa para achar M é recalcular a reação R A que terá um novo valor com a introdução da carga fictícia Q . Achamos ela novamente através do equilíbrio de momentos em relação ao ponto B .

Como o momento da força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente desse momento.

- M R A + M Q + M 0 = 0

- R A L + Q L 2 + M 0 = 0

R A = Q 2 + M 0 L

Agora estamos aptos a achar M !

Precisamos achar M pra achar y C . Fazemos isso, dividindo a viga em duas partes (uma esquerda e outra direita). O M será encontrando calculando o equilíbrio de momentos da parte esquerda da viga. Se a parte esquerda não incluir a força Q , teremos:

Faremos o equilíbrio dessa parte esquerda em relação ao ponto x . A equação de equilíbrio de momentos diz que a soma dos momentos deve valer zero. Novamente devemos observar que, como o momento da força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente desse momento.

- M R A + M + M 0 = 0

- R A x + M + M 0 = 0

- Q 2 + M 0 L x + M + M 0 = 0

M = Q x 2 + M 0 x L - M 0

Conseguimos achar um valor para M , mas M tem um segundo valor. Quando a parte esquerda da viga inclui a força Q , esse momento fletor passa a ter outro valor.

Mais uma vez (é a última, prometo!) devemos lembrar que, como o momento da força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente desse momento.

- M R A + M + M 0 + M Q = 0

- R A x + M + M 0 + Q x - L 2 = 0

- Q 2 + M 0 L x + M + M 0 + Q x - L 2 = 0

M = - Q 2 x - L + M 0 L x - L

Com esses dois valores de M , podemos começar a calcular y C , determinando os valores de ∂ M ∂ Q .

Passo 6

Como existem dois valores de M , existem dois valores de ∂ M ∂ Q . Um para x entre 0 e L 2 e outro para x entre L 2 e L . Vamos derivar primeiro o primeiro valor de M .

∂ M ∂ Q = ∂ Q x 2 + M 0 x L - M 0 ∂ Q

∂ M ∂ Q = x 2

Agora, vamos encontrar o valor de ∂ M ∂ Q para o segundo valor de M .

∂ M ∂ Q = ∂ - Q 2 x - L + M 0 L x - L ∂ Q

∂ M ∂ Q = - x - L 2

Agora podemos achar y C .

Passo 7

Como ∂ M ∂ Q e M possuem dois valores, precisamos dividir a integral que calcula y C em duas. Uma que vai de 0 a L 2 com os primeiros valores de ∂ M ∂ Q e M outra que vai de L 2 a L com os outros valores de ∂ M ∂ Q e M .

y C = ∫ 0 L M E I ∂ M ∂ Q   d x

y C = ∫ 0 L 2 M E I ∂ M ∂ Q   d x + ∫ L 2 L M E I ∂ M ∂ Q   d x

Antes de substituir os valores de ∂ M ∂ Q e M nas integrais, podemos definir Q = 0 logo para facilitar a integração. Por conta disso, o primeiro valor de M é:

M = Q x 2 + M 0 x L - M 0

M = M 0 x L - M 0 L L

Já o segundo valor de M vira:

M = - Q 2 x - L + M 0 L x - L

M = M 0 L x - L

Substituindo os valores de ∂ M ∂ Q e M nas integrais:

y C = ∫ 0 L 2 M 0 x L - M 0 L L E I × x 2   d x + ∫ L 2 L M 0 L x - L E I × - x - L 2   d x

y C = ∫ 0 L 2 M 0 x 2 2 E I L - M 0 L x 2 E I L   d x + ∫ L 2 L - M 0 2 E I L x - L 2   d x

Integrando a função:

y C = M 0 x 3 6 E I L - M 0 L x 2 4 E I L 0 L 2 + - M 0 6 E I L x - L 3 L 2 L

Substituindo os limites de integração:

y C = M 0 L 3 48 E I L - M 0 L 3 16 E I L - M 0 L 3 48 E I L

y C = - M 0 L 2 16 E I

Aeeeeee! Essa é a resposta da letra (b)! Ou seja, acabamos com a questão!!!

Resposta

a   θ B = - 5 M 0 L 3 6 E I L 2

b   y C = - M 0 L 2 16 E I

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