Para a viga prismática mostrada, determinar:

1. a declividade na extremidade ;
2. a deflexão no ponto médio .

A primeira etapa para achar é encontrar a reação , fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao ponto .

Como o momento da força e o momento fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente desses momentos.

Agora estamos aptos a achar ! Para achar , precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra . Calcularemos o equilíbrio no ponto .

Colocamos um sinal de menos na frente do momento , porque ele faz a viga girar no sentido horário.

Com esse valor de , podemos começar a calcular , determinando quanto vale a derivada .

Sem enrolação, vamos logo derivar o valor de em relação a .

Agora podemos achar , substituindo e na integral do passo 1.

Antes de substituir os valores de e nas integrais, podemos definir logo para facilitar a integração. Por conta disso, vale:

Agora sim fica melhor de substituir e na integral.

Que monstrengo, né? Relaxa que, se a gente reorganizar os termos, a integral fica com a cara mais bonitinha!

Integrando a função:

Substituindo os limites de integração:

Colocando as frações no mesmo denominador, temos:

Proooonto! Achamos o resultado que a letra (a) da questão pediu!!! Agora vamos partir pra letra (b).

O enunciado pede para a gente calcular a deflexão no ponto médio da viga. Para conseguir fazer esse cálculo, vamos supor que existe uma força fictícia que é aplicada nesse ponto . A imagem abaixo mostra essa situação.

Essa força vale zero, mas precisamos calcular o momento fletor da viga como se de fato existisse. Desse jeito, podemos calcular através da equação 10.77 do livro que calcula deflexões de vigas sobre deflexão.

onde é a derivada parcial do momento fletor em relação à força fictícia !

Depois desse blábláblá, vamos começar a resolver o exercício calculando .

A primeira etapa para achar é recalcular a reação que terá um novo valor com a introdução da carga fictícia . Achamos ela novamente através do equilíbrio de momentos em relação ao ponto .

Como o momento da força faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente desse momento.

Agora estamos aptos a achar !

Precisamos achar pra achar . Fazemos isso, dividindo a viga em duas partes (uma esquerda e outra direita). O será encontrando calculando o equilíbrio de momentos da parte esquerda da viga. Se a parte esquerda não incluir a força , teremos:

Faremos o equilíbrio dessa parte esquerda em relação ao ponto . A equação de equilíbrio de momentos diz que a soma dos momentos deve valer zero. Novamente devemos observar que, como o momento da força faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente desse momento.

Conseguimos achar um valor para , mas tem um segundo valor. Quando a parte esquerda da viga inclui a força , esse momento fletor passa a ter outro valor.

Mais uma vez (é a última, prometo!) devemos lembrar que, como o momento da força faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente desse momento.

Com esses dois valores de , podemos começar a calcular , determinando os valores de .

Como existem dois valores de , existem dois valores de . Um para entre e e outro para entre e . Vamos derivar primeiro o primeiro valor de .

Agora, vamos encontrar o valor de para o segundo valor de .

Agora podemos achar .

Como e possuem dois valores, precisamos dividir a integral que calcula em duas. Uma que vai de a com os primeiros valores de e outra que vai de a com os outros valores de e .

Antes de substituir os valores de e nas integrais, podemos definir logo para facilitar a integração. Por conta disso, o primeiro valor de é:

Já o segundo valor de vira:

Substituindo os valores de e nas integrais:

Integrando a função:

Substituindo os limites de integração:

Aeeeeee! Essa é a resposta da letra (b)! Ou seja, acabamos com a questão!!!