Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 109
Para a viga prismática mostrada, determinar a declividade no ponto .
Passo 1
Fala, meus amados e minhas amadas! Tudo show de bolinha? Pronto para esse exercício de cálculo de declividade pelo Teorema de Castigliano?
O enunciado pede para a gente calcular o ângulo de inclinação (também chamada de declividade) no ponto da viga. Para conseguir fazer esse cálculo, vamos supor que existe um momento fictício que é aplicado nesse ponto . A imagem abaixo mostra essa situação.
Esse momento vale zero, mas precisamos calcular o momento fletor da viga como se de fato existisse. Desse jeito, podemos calcular através de uma adaptação para o cálculo de declividades da equação 10.77 do livro que calcula deflexões de vigas sobre deflexão.
onde é a derivada parcial do momento fletor em relação ao momento fictício!
Depois desse blábláblá, vamos começar a resolver o exercício calculando .
Passo 2
Precisamos achar pra achar . Fazemos isso, dividindo a viga em duas partes (uma esquerda e outra direita). O será encontrando calculando o equilíbrio de momentos da parte esquerda da viga. Se a parte esquerda incluir apenas a força distribuída teremos:
Faremos o equilíbrio dessa parte esquerda em relação ao ponto . A equação de equilíbrio de momentos diz que a soma dos momentos deve valer zero.
Conseguimos achar um valor para , mas tem um segundo valor. Quando a parte esquerda da viga inclui o momento , esse momento fletor passa a ter outro valor.
Com esses dois valores de , podemos começar a calcular , determinando os valores de .
Passo 3
Como existem dois valores de , existem dois valores de . Um para entre e e outro para entre e . Vamos derivar primeiro o primeiro valor de .
Como o termo não possui a variável , essa derivada vale zero.
Agora, vamos encontrar o valor de para o segundo valor de .
Agora podemos achar .
Passo 4
Como e possuem dois valores, precisamos dividir a integral que calcula em duas. Uma que vai de a com os primeiros valores de e outra que vai de a com os outros valores de e .
Antes de substituir os valores de e nas integrais, podemos definir logo para facilitar a integração. Por conta disso, o segundo valor de vale:
Agora sim fica melhor de substituir e nas integrais.
Integrando a função:
Substituindo os limites de integração:
Proooonto! Achamos o resultado que a questão pediu!!!