Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 112
(a) Usando funções de singularidade, determine a intensidade e a localização do momento fletor máximo para a viga e o carregamento mostrados. (b) Determine a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor.
Passo 1
Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:
Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto C e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:
Agora podemos escrever a equação para a força cortante, já que temos todas as forças aplicadas e os pontos onde são aplicadas, só lembrando que como temos carregamento distribuído, ele possui ordem 1 na equação de singularidade para a força cortante. Sendo assim, considerando a origem no ponto A, com , a equação para a força cortante será:
Passo 2
Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:
Isolando as variáveis dessa equação, temos:
Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:
Agora, substituindo a expressão encontrada para no passo 1, a equação acima se torna:
Resolvendo a integral, teremos:
Em que é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso caso, temos dois momentos, um aplicado no ponto A e outro no ponto C. Como consideramos a origem no ponto A e o final do comprimento da viga está no ponto C, só precisamos considerar o momento localizado no ponto A, então nossa constante de integração será:
Então a equação do momento será:
Passo 3
Agora para a letra (b), para encontrar a tensão normal máxima, precisamos primeiro do momento máximo. Para isso, vamos igualar a derivada da função momento (que é a própria equação da força cortante) a zero, e encontrar a localização do momento máximo. Fazendo isso, teremos:
Nesse caso, como estamos trabalhando com a função de singularidade, precisamos dividir a função nos intervalos para calcular separadamente o valor de máximo para cada intervalo. No entanto, olhando pra função acima, vemos que só faz sentido (só teremos um valor de para encontrar se considerarmos o intervalo ), então, nesse intervalo, a equação acima se torna:
Essa é a localização do momento máximo. Agora para encontrar seu valor, basta substituir essa posição de na equação que encontramos para o momento lá no passo 2. Então, fazendo isso, teremos:
Passo 4
Beleza! Nós sabemos que a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor é dada por:
No nosso caso, temos uma viga I 1310 X 52, então vamos ter que recorrer ao apêndice C para pegar suas propriedades. Precisamos do momento de inércia e da altura da viga, já que a distância para obter a tensão máxima será metade da altura da viga, pois as maiores tensões estarão na extremidade. Então teremos:
Dessa forma, substituindo os valores conhecidos, nossa tensão máxima será dada por: