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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 105

Para a viga em balanço e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação e (b) a deflexão no ponto A.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal! Antes de começar esse exercício, precisamos lembrar que o momento a que uma viga com carregamento distribuído está submetida será:

M = w x 2 2

No nosso caso, como a seção da viga muda, teremos duas áreas M / E I , a primeira indo de A até B e a segunda indo de B até C. Na primeira teremos um momento de:

M = w L 2 2 2 → M = w L 2 8

E na segunda, de comprimento L / 2 também, teremos o mesmo momento. O que vai mudar será a relação M / E I , para a primeira seção o maior valor de M / E I será:

M E I = w L 2 8 E I

Já para a segunda seção, teremos:

M E I = w L 2 24 E I

Passo 3

Então, teremos o seguinte diagrama M / E I :

Agora nós vamos calcular a área sob as curvas e a localização do centroide dessas áreas com o auxílio da Fig. 9.31 vista nessa seção. Começando pela área 1, teremos:

A 1 = b h 3 = L 2 - w L 2 8 E I 3 → A 1 = - w L 3 48 E I

E o seu centroide, contabilizando a partir do ponto B, será:

x - 1 = b 4 = L 2 4 → x - 1 = L 8

Agora, para a área 2, temos:

A 2 = b h 3 = L 2 - w L 2 24 E I 3 → A 2 = - w L 3 144 E I

x - 2 = b 4 = L 2 4 → x - 2 = L 8

Passo 4

Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama M / E I , então a inclinação do ponto A será:

θ A / C = θ A - θ C = A 1 + A 2

Substituindo os valores encontrados para as áreas, teremos:

θ A - 0 = - w L 3 48 E I - w L 3 144 E I → θ A = - w L 3 36 E I

Passo 5

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t A / C = A A C x -

Em que A A C é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t A - t C = A 1 x - 1 + A 2 x - 2

t A - 0 = - w L 3 48 E I L 2 - L 8 + - w L 3 144 E I L 2 + L 2 - L 8

t A = - 3 w L 4 384 E I - 7 w L 4 1152 E I → t A = - 16 w L 4 1152 E I

Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : θ A = - w L 3 36 E I

b :   t A = - 16 w L 4 1152 E I

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