Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 55
Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a reação no ponto A, (b) a deflexão no ponto C. Utilize E = 200 GPa.
Passo 1
Eaaee galera, mais um exercício pra conta, só que esse é com as unidades americanas, meio chatinho, mas não tem jeito, vamos pra cima! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:
Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí só precisamos calcular o valor do momento de inércia para substituir os valores conhecidos nas equações que encontramos. Então bora lá!
Passo 2
Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:
Agora, vamos aproveitar e pegar o momento de inércia para a viga W12 X 22, como não temos as informações para as geometrias nas medidas americanas no apêndice C do livro, vamos recorrer a internet, de onde teremos:
Com esse valor e com o módulo de elasticidade fornecido no enunciado (lembrando que temos que converter ele para ksi), teremos:
E agora, convertendo in² para ft², dividindo por 12², teremos:
Beleza! Como temos um carregamento distribuído que não vai até o final da viga, precisamos desenhar um carregamento equivalente que vá até o final da viga, para que possamos escrever o carregamento no formato da equação de singularidade. Então o carregamento equivalente será:
Agora, sabendo que a derivada da função de cisalhamento é igual ao oposto do carregamento, podemos escrever:
Passo 3
Agora, integrando essa expressão, teremos:
Nesse caso, a constante corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, teremos a reação , então nossa constante será:
Então a equação para o cisalhamento se torna:
Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:
Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:
Integrando essa expressão, teremos:
Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso não temos nenhum, então teremos:
Então nossa equação para o momento será:
Passo 4
Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:
Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:
Agora, para descobrir o valor de vamos utilizar a condição de contorno no engaste em B, onde sabemos que não haverá inclinação, ou seja:
Substituindo essa relação na equação para a inclinação, chegamos em:
Agora nós vamos integrar a equação da inclinação para obter a equação da deflexão, então teremos:
Passo 5
Agora para encontrar o valor da constante , nós vamos utilizar a condição de contorno no ponto A, onde sabemos que não há deflexão, ou seja:
Substituindo essa condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:
Então, a nossa equação para a linha elástica será:
E a equação para a inclinação será:
Passo 6
Agora para a letra (a), para descobrir a reação no apoio A, vamos utilizar a equação para a deflexão obtida no passo 5 e calcular em , pois sabemos que nesse ponto não temos deflexão, ou seja:
Substituindo esses valores na equação para a deflexão, teremos:
Quase lá em, falta só a (b) agora!
Passo 7
Agora, para a letra (b), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos lá no passo 5 e calcular para o ponto C em , além de substituir as expressões que já conhecemos, então teremos:
Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!