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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 63

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: (a) a equação da linha elástica; (b) a deflexão na extremidade livre.

Passo 1

Fala aí galera. Bora pra mais uma questão da nossa querida resmat. O primeiro passo para esta questão é determinar as reações de apoio .   Aplicando as equações de equilíbrio:

∑ M C = 0 → M C = P a + P 2 a

M C = 3 a P

∑ F y = 0 → F C = 2 P

Portanto, a equação do momento em função de x será:

M x = - P x - P < x - a > 1  

Portanto, a equação da linha elástica é dada por:

d y 2 d 2 x = M x E I

d y 2 d 2 x = - P x - P < x - a > 1 E I

Passo 2

Agora, vamos integrar a equação acima uma vez em relação a x para acharmos declividade. Logo:

E I   θ = - P x 2 2 - P 2 < x - a > 2 + C 1

Para determinar C 1 ,   vamos usar as condições de contorno. Sabemos que θ 2 a = 0 ,   logo:

E I   θ 2 a = - P 4 a 2 2 - P 2 a 2 + C 1 = 0

C 1 = 2 P a 2 + P a 2 2 = 5 P a 2 2

Portanto:

E I   θ = - P x 2 2 - P 2 < x - a > 2 + 5 P a 2 2

Iremos integrar a equação novamente em relação a x   para encontramos a deflexão. Ou seja:

E I   y = - P x 3 6 - P 6 < x - a > 3 + 5 P a 2 2 x + C 2

Do mesmo modo, sabemos que:

y 2 a = 0

y 2 a = - P 8 a 3 6 - P 6 a 3 + 5 P a 2 2 2 a + C 2 = 0

- 8 P a 3 6 - P a 3 6 + 10 P a 3 2 + C 2 = 0

- 9 P a 3 6 + 30 P a 3 6 + C 2 = 0

C 2 = - 21 P a 3 6

Logo:

E I   y = - P x 3 6 - P 6 < x - a > 3 + 5 P a 2 2 x - 21 P a 3 6

Passo 3

Agora, basta calcular os itens pedidos. Para a letra b:

E I y 0 = - 0 - 0 + 0 - 21 P a 3 6

y 0 = - 21 P a 3 6 E I

Resposta

  1. d y 2 d 2 x = - P x - P < x - a > 1 E I
  2. y 0 = - 21 P a 3 6 E I
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