Enunciado

Para a viga prismática com o carregamento mostrado, determinar:

  1. A declividade no ponto A
  2. A deflexão no ponto D.

Passo 1

Então galera, até aqui vimos casos de vigas simétricas, e esse caso pode acabar nos dando um medinho, mas pode ficar tranquilo, porque todas as premissas continuam iguais, a diferença está em como vamos usar ela, e para isso, sabemos de cara que precisamos das nossas reações de apoio, com isso, temos que:

∑ M B = 0

- V A L + P L 2 + P L 4 = 0

V A L = 3 P L 4

V A = 3 P 4

∑ F V = 0

V A + V B - P - P = 0

3 P 4 + V B - P - P = 0

V B = 5 P 4

E com esses dados podemos desenhar o nosso diagrama de momentos fletores da nossa viga, que ficaria da seguinte maneira:

E sabemos que devemos dividir o nosso diagrama por E I , e assim teremos que:

Passo 2

Agora, pensa no seguinte, como eu disse, quando tínhamos cargas simétricas, poderíamos considerar um ponto em que sabíamos que a deflexão era zero, porém, agora não sabemos mais onde temos essa deflexão, vamos partir direto para o que sabemos, que nesse caso é a deformação, e como a deformação vai nos ajudar a determinar a deflexão? Muito simples, podemos determinar a deformação de B com relação a A da seguinte maneira:

θ B / A = θ B - θ A

E pensa no seguinte, queremos saber quanto vale o ângulo em A, certo? Vamos isolar o ângulo:

θ A = θ B - θ B / A

E se multiplicarmos tudo por L, obtemos exatamente as deformações, mas perceba que a do ângulo A eu não irei modificar.

L θ A = L θ B - L θ B / A

L θ A = y B - y B / A

E sabemos que a deformação em B é zero, assim temos que:

θ A = - y B / A L

E para determinarmos a deformação y B / A precisamos de todas as áreas entre A e B e das distâncias desses centroides ATÉ B, bem importante lembrar que sempre determinamos a distância com relação ao primeiro termo do subscrito B / A . Dividindo o nosso diagrama em áreas mais simples temos que:

A 1 = 3 P L 8 E I × L 2 × 1 2 = 3 P L 2 32 E I

A 2 = 5 P L 16 E I × L 4 = 5 P L 2 64 E I

A 3 = 3 P L 8 E I - 5 P L 16 E I × L 4 × 1 2 = P L 2 128 E I

A 4 = 5 P L 16 E I × L 4 × 1 2 = 5 P L 2 128 E I

E além das áreas precisamos da distancia de cada centroide até o nosso ponto B, assim teremos que:

Assim podemos definir que:

y B / A = A 1 y 1 + A 2 y 2 + A 3 y 3 + A 4 y 4

y B / A = 3 P L 2 32 E I × 4 L 6 + 5 P L 2 64 E I × 3 L 8 + P L 2 128 E I × 5 L 12 + 5 P L 2 128 E I × 2 L 12

y B / A = 156 P L 3 1536 E I = 39 P L 3 384 E I

Mas lembre-se que o objetivo é o ângulo, com isso teremos que:

θ A = - 39 P L 3 384 E I L = - 39 P L 2 384 E I

E assim fechamos o item A).

Passo 3

Como as nossas cargas são assimétricas, vamos precisar do nosso ângulo, exatamente porque o nosso ângulo vai dar um acréscimo na nossa deformação, sabemos que:

y D / A = y D - y A

Mas também podemos dizer que:

y D / A = y D - L D θ A

E perceba que estamos usando não mais o comprimento total porque antes o nosso comprimento total era usado porque estávamos olhando o ponto B, como aqui estamos olhando apenas o ponto D, usamos a distância de A até D, porém lembre que já determinamos uma fórmula para esse ângulo, assim podemos escrever que:

y D / A = y D + L D y B / A L

E como queremos a nossa deformação em D, podemos escrever:

y D = y D / A - L D y B / A L

E vale lembrar que precisamos lembrar:

  • Só usarmos as áreas entre A e D, ou seja, somente a área 1 e por consequência a distância desse centroide até O PONTO D, porque lembre que ele é o primeiro da nossa relação.

Assim teremos que:

A 1 = 3 P L 8 E I × L 2 × 1 2 = 3 P L 2 32 E I

y D / A = A 1 y 1

y D / A = y D = 3 P L 2 32 E I × L 6 = P L 3 64 E I

Substituindo na nossa fórmula temos que:

y D = y D / A - L D y B / A L

y D = P L 3 64 E I - L 2 39 P L 3 384 E I L

y D = P L 3 64 - 39 P L 3 768 E I

y D = - 27 P L 3 768 E I = - 9 P L 3 256 E I

Resposta

  1. θ A = - 39 P L 2 384 E I
  2. y D = - 9 P L 3 256 E I
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