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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 62

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: (a) a equação da linha elástica; (b) a declividade na extremidade A ;   (c) a deflexão no ponto C .

Passo 1

Fala aí galera. Bora devorar esse livro de resmat? O primeiro passo para esta questão é determinar as reações de apoio .   Aplicando as equações de equilíbrio:

∑ M A = 0 → w × 2 L 3 × L 3 + 2 L 3 × 1 2 = F B L

F B = 4 w L 2 9 L = 4 w L 9

∑ F y = 0 → F A = 2 L 3 w - F B

F A = 2 w L 3 - 4 w L 9 = 2 w L 9

Portanto, a equação do momento em função de x será obtida pelas parcelas do momento ao longo da direção x   da estrutura. Ou seja:

M x = F A x - < x - L 3 > 1 w × < x - L 3 > 1 × 1 2  

M x = 2 w L 9 x - < x - L 3 > 2 w 2      

A função - < x - L 3 > 2 w 2 é chamada de função degrau. Logo, ela só funciona quando temos x > L 3 .   Quando x ≤ L 3 ,   ela é nula.

Portanto, a equação da linha elástica é dada por:

d y 2 d 2 x = M x E I

d y 2 d 2 x = 2 w L 9 x - < x - L 3 > 2 w 2 E I

Passo 2

Agora, vamos integrar a equação acima uma vez em relação a x para acharmos declividade. Logo:

E I   θ = 2 w L 9 x 2 2 - < x - L 3 > 3 w 6 + C 1

Para determinar C 1 ,   vamos usar as condições de contorno. Sabemos que θ 0 = - θ ( L ) ,   pois a declividade no primeiro apoio é o inverso da declividade no segundo apoio. Portanto:

E I   θ 0 = C 1

E I   θ L = 2 w L 9 L 2 2 - < 2 L 3 > 3 w 6 + C 1

C 1 = - 2 w L 3 18 + 8 L 3 w 162   + C 1

C 1 = - 2 w L 3 36 + 8 L 3 w 324 = - 10 w L 3 324

Ou seja:

E I   θ = 2 w L 9 x 2 2 - < x - L 3 > 3 w 6 - 10 w L 3 324

Iremos integrar a equação novamente em relação a x   para encontramos a deflexão. Ou seja:

E I   y = 2 w L 9 x 3 6 - < x - L 3 > 4 w 24 - 10 w L 3 324 x

Do mesmo modo, sabemos que:

y 0 = 0 → C 2 = 0

Pois no apoio não há deflexão.

Logo:

E I   y = 2 w L 9 x 3 6 - < x - L 3 > 4 w 24 - 10 w L 3 324 x

Passo 3

Agora, basta calcular os itens pedidos. Para a letra b:

E I   θ 0 = 2 w L 9 0 2 2 - < 0 > 3 w 6 - 10 w L 3 324

θ 0 = - 10 w L 3 324 E I

Para a letra c:

E I y L 3 = 2 w L 9 L 3 3 6 - < 0 > 4 w 24 - 10 w L 3 324 L 3  

y L 3 = 2 w L 4 1458 E I - 10 w L 4 972 E I = - 26 w L 4 2916 E I = - 13 w L 4 1458 E I

Resposta

  1. d y 2 d 2 x = 2 w L 9 x - < x - L 3 > 2 w 2 E I
  2. θ 0 = - 10 w L 3 324 E I
  3. y L 3 = - 13 w L 4 1458 E I
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