Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a equação da linha elástica e (b) a deflexão no ponto médio C.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, e aí temos tudo o que precisamos pra resolver o exercício. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Vamos começar aplicando o somatório de momento em relação ao ponto B para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↺ ∑ M B = 0

- A y 4 a + w 2 a 2 a = 0 → A y = w a

Agora, aplicando o somatório de forças na direção y, conseguimos achar o valor da reação em B, que será:

+ ↑ ∑ F y = 0

A y - w 2 a + B y = 0 → w a - 2 w a + B y = 0

B y = w a

Agora, como temos um carregamento distribuído que não vai até o final da viga, sabemos que devemos aplicar um carregamento equivalente ao mostrado no enunciado, mas com carregamentos que se prolonguem até o final da viga, para que possamos usar a equação da singularidade. Então o carregamento distribuído equivalente será:

Passo 3

Então, para o carregamento distribuído equivalente mostrado no passo 2, sabendo que a derivada da equação de cisalhamento corresponde ao carregamento, podemos escrever:

d V d x = - w < x - a > 0 + w < x - 3 a > 0

Agora, integrando essa expressão, teremos:

V = - w < x - a > 1 + w < x - 3 a > 1 + C

Nesse caso, a constante C corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, só teremos a reação A y , então nossa constante será:

C = A y = w a

Então a equação para o cisalhamento se torna:

V = - w < x - a > 1 + w < x - 3 a > 1 + w a

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:

d M d x = - w < x - a > 1 + w < x - 3 a > 1 + w a

Integrando essa expressão, teremos:

M = - w 2 < x - a > 2 + w 2 < x - 3 a > 2 + w a x + C

Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, como no nosso caso não temos nenhum, teremos:

C = 0

Então nossa equação para o momento será:

M = - w 2 < x - a > 2 + w 2 < x - 3 a > 2 + w a x

Passo 4

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = - w 2 < x - a > 2 + w 2 < x - 3 a > 2 + w a x

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = - w 6 < x - a > 3 + w 6 < x - 3 a > 3 + w a x 2 2 + C 1

Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = - w 24 < x - a > 4 + w 24 < x - 3 a > 4 + w a x 3 6 + C 1 x + C 2

Passo 5

Beleza! Agora para encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 vamos utilizar as condições de contorno que temos. No nosso caso, sabemos que a deflexão será zero nos apoios A e D, então teremos:

x = 0 → y = 0

x = 4 a → y = 0

Substituindo a primeira relação na equação para a deflexão, temos:

E I . ( 0 ) = - w 24 < 0 - a > 4 + w 24 < 0 - 3 a > 4 + w a 0 3 6 + C 1 ( 0 ) + C 2

C 2 = 0

Agora, substituindo a segunda condição de contorno na equação da deflexão, teremos:

E I . ( 0 ) = - w 24 < 4 a - a > 4 + w 24 < 4 a - 3 a > 4 + w a 4 a 3 6 + C 1 ( 4 a ) + 0

0 = - w 24 3 a 4 + w 24 a 4 + 64 w a 4 6 + C 1 4 a

4 C 1 = 27 w a 3 8 - w a 3 24 - 32 w a 3 3 = 81 w a 3 - w a 3 - 256 w a 3 24

C 1 = - 176 w a 3 96 = - 11 w a 3 6

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = - w 24 < x - a > 4 + w 24 < x - 3 a > 4 + w a x 3 6 + C 1 x + C 2

y = 1 E I - w 24 < x - a > 4 + w 24 < x - 3 a > 4 + w a x 3 6 - 11 w a 3 6 x

Shoow! Bora pra (b) agora!

Passo 6

Agora para a letra (b), vamos utilizar a equação que encontramos para a linha elástica no passo 5 e calcular para o ponto C, onde temos x = 2 a . Então teremos:

y = 1 E I - w 24 < 2 a - a > 4 + w 24 < 2 a - 3 a > 4 + w a 2 a 3 6 - 11 w a 3 6 ( 2 a )

y = 1 E I - w 24 a 4 + 0 + 4 w a 4 3 - 22 w a 4 6 = 1 E I - w a 4 + 32 w a 4 - 88 w a 4 24

y = - 19 w a 4 8 E I

Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : y = 1 E I - w 24 < x - a > 4 + w 24 < x - 3 a > 4 + w a x 3 6 - 11 w a 3 6 x

b :   y = - 19 w a 4 8 E I

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