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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 65

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: (a) a equação da linha elástica; (b) a deflexão na extremidade livre.

Passo 1

Fala aí galera. Partiu mais uma questão? Para não precisarmos calcular as reações, caminharemos da direita para a esquerda para fazer a formulação do momento em função das cargas.

Portanto, a equação do momento em função de x será:

M x = - P x - P < x - a > 1 - P < x - 2 a > 1  

Portanto, a equação da linha elástica é dada por:

d y 2 d 2 x = M x E I

d y 2 d 2 x = - P x - P < x - a > 1 - P < x - 2 a > 1 E I

Passo 2

Agora, vamos integrar a equação acima uma vez em relação a x para acharmos declividade. Logo:

E I   θ = - P x 2 2 - P 2 < x - a > ² - P 2 < x - 2 a > 2 + C 1

Para determinar C 1 ,   vamos usar as condições de contorno. Sabemos que θ 3 a = 0 ,   logo:

E I   θ 3 a = - P 9 a 2 2 - P 2 4 a ² - P 2 a ² + C 1 = 0

C 1 = 7 P a ²

Portanto:

E I   θ = - P x 2 2 - P 2 < x - a > ² - P 2 < x - 2 a > 2 + 7 P a ²

Iremos integrar a equação novamente em relação a x   para encontramos a deflexão. Ou seja:

E I   y = - P x 3 6 - P 6 < x - a > 3 - P 6 < x - 2 a > 3 + 7 P a 2 x + C 2

Do mesmo modo, sabemos que:

y 3 a = 0

y 3 a = - P 27 a 3 6 - P 6 8 a ³ - P 6 a ³ + 21 P a 3 + C 2

C 2 = - 15 P a ³

Logo:

E I   y = - P x 3 6 - P 6 < x - a > 3 - P 6 < x - 2 a > 3 + 7 P a 2 x - 15 P a ³

Passo 3

Agora, basta calcular os itens pedidos. Para a letra b:

E I y 0 = - 0 - 0 - 0 + 0 - 15 P a ³

y 0 = - 15 P a 3 E I

Resposta

  1. d y 2 d 2 x = - P x - P < x - a > 1 - P < x - 2 a > 1 E I
  2. y 0 = - 15 P a 3 E I
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