Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar (a) a declividade em A ; (b) a deflexão em B . Usar E = 200 G P a .

Passo 1

Fala aí galera, bora estudar resmat. Primeiramente, nesta questão, devemos calcular as reações de apoio. Sabemos que:

∑ M A = 0 → 35 × 3 × 1,5 + 90 × 3 = F C 5

F C = 85,5   k N

∑ F y = 0 → 90 + 35 × 3 = F A + F C

F A = 109,5   k N

Logo, a equação do momento em função de x pode ser calculada. Iremos caminhar pela estrutura acrescentando as parcelas dos momentos causados pelos esforços. Fazendo isso, a equação do momento será:

M x = 109,5 x - 35 x 2 2 - 90 < x - 3 > + 35 2 < x - 3 > ²

As funções - 90 < x - 3 > + 35 2 < x - 3 > 2   são chamadas de função degrau. Logo, para x ≤   3 ,   elas são nulas.

A equação da linha elástica é dada por:

d y 2 d 2 x = M x E I

Portanto, ela será:

d y 2 d 2 x = 109,5 x - 35 x 2 2 - 90 < x - 3 > + 35 2 < x - 3 > ² E I

Passo 2

Agora, vamos integrar a equação acima uma vez em relação a x para acharmos declividade em função de x . Logo:

E I   θ = 109,5 x 2 2 - 35 x 3 6 - 90 2 < x - 3 > ² + 35 6 < x - 3 > ³ + C 1

Para determinar a constante de integração C 1 ,   vamos usar as condições de contorno. Sabemos que:

θ 0 = - θ 5

A estrutura possui uma rotação em um sentido em A   e em C   ela gira o mesmo valor no sentido oposto.

Logo, substituindo:

θ 0 = C 1

θ 5 = 506,25 + C 1

θ 0 = - θ 5

C 1 = - 506,25 - C 1

C 1 = - 253,12

Portanto:

E I   θ = 109,5 x 2 2 - 35 x 3 6 - 90 2 < x - 3 > ² + 35 6 < x - 3 > ³ - 253,12

Agora, iremos integrar a equação novamente em relação a x   para encontramos a deflexão. Ou seja:

E I   y = 109,5 x 3 6 - 35 x 4 24 - 90 6 < x - 3 > 3 + 35 24 < x - 3 > 4 - 253,12 x + C 2

Do mesmo modo, sabemos que:

y 0 = 0

Pois, no apoio não há deflexão. Portanto:

C 2 = 0

Logo, a deflexão será:

E I   y = 109,5 x 3 6 - 35 x 4 24 - 90 6 < x - 3 > 3 + 35 24 < x - 3 > 4 - 253,12 x

Passo 3

Agora, basta calcular os itens pedidos substituindo a posição dos pontos nas funções encontradas. Para a letra a:

E I   θ 0 = - 253,12

  θ ( 0 ) = - 253,12 E I

Para esse perfil, temos o momento de inércia tabelado em ábacos do livro, logo:

θ 0 = - 253,12 200 × 10 9 × 1,861 × 10 - 4 = - 6,8 × 10 - 6   r a d

Portanto, esta é a declividade em A .

Passo 4

Agora, fazendo o mesmo para a letra b:

E I   y 3 = - 384,735

y 3 = - 384,735 200 × 10 9 × 1,861 × 10 - 4 = - 1,03 × 10 - 5   m

E pronto! Está finalizada a questão.

Resposta

  1. θ 0 = - 6,8 × 10 - 6   r a d
  2. y 3 = - 1,03 × 10 - 5   m
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