Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 44
Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a equação da linha elástica, (b) a deflexão no ponto B e (c) a deflexão no ponto D.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:
Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, e aí temos tudo o que precisamos pra resolver o exercício. Então bora lá!
Passo 2
Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:
Beleza! Vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto C para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:
Agora vamos aplicar o somatório de forças na direção para descobrir o valor da reação no ponto C, então temos:
Agora, como temos carregamentos distribuídos no sistema que não vão até o final da viga, precisamos desenhar um carregamento equivalente dessa forma para que possamos escrever em função das equações de singularidade. Então o carregamento equivalente será:
Agora, sabendo que a derivada da equação de cisalhamento corresponde ao carregamento, podemos escrever:
Passo 3
Agora, integrando essa expressão, teremos:
Nesse caso, a constante corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, teremos a reação e encontradas no passo 2, então nossa constante será:
Então a equação para o cisalhamento se torna:
Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:
Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:
Integrando essa expressão, teremos:
Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso não temos nenhum, então teremos:
Então nossa equação para o momento será:
Passo 4
Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:
Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:
Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:
Passo 5
Beleza! Agora, para encontrar o valor das constantes e , nós vamos usar as condições de contorno que temos nos apoios, onde sabemos que não há deflexão, ou seja:
Substituindo a primeira condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:
Agora, vamos utilizar a segunda condição de contorno para obter o valor de , então teremos:
Então, a nossa equação para a linha elástica será:
Shoow! Bora pra (b) agora!
Passo 6
Agora para a letra (b), vamos utilizar a equação que encontramos para a linha elástica no passo 5, e vamos calcular no ponto B, onde temos , então teremos:
Quase lá em, falta só a (c) agora, desanima nãão!
Passo 7
Agora, para a letra (c), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos na letra (a) lá no passo 5 e calcular para o ponto D em , então teremos:
Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!