Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a equação da linha elástica, (b) a deflexão no ponto B e (c) a deflexão no ponto D.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, e aí temos tudo o que precisamos pra resolver o exercício. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto C para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:

+ ↻ ∑ M C = 0

A y L - w L 2 3 L 4 + w L 2 L 4 = 0

A y = 3 w L 8 - w L 8 → A y = w L 4

Agora vamos aplicar o somatório de forças na direção y para descobrir o valor da reação no ponto C, então temos:

+ ↑ ∑ F y = 0

A y - w L 2 + C y - w L 2 = 0 → C y = 3 w L 4

Agora, como temos carregamentos distribuídos no sistema que não vão até o final da viga, precisamos desenhar um carregamento equivalente dessa forma para que possamos escrever em função das equações de singularidade. Então o carregamento equivalente será:

Agora, sabendo que a derivada da equação de cisalhamento corresponde ao carregamento, podemos escrever:

d V d x = - w = - w - w < x - L 2 > 0 + w < x - L > 0

d V d x = - w + w < x - L 2 > 0 - w < x - L > 0

Passo 3

Agora, integrando essa expressão, teremos:

V = - w x + w < x - L 2 > 1 - w < x - L > 1 + C

Nesse caso, a constante C corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, teremos a reação A y e C y encontradas no passo 2, então nossa constante será:

C = A y + C y = w L 4 + 3 w L 4 < x - L > 0

Então a equação para o cisalhamento se torna:

V = - w x + w < x - L 2 > 1 - w < x - L > 1 + w L 4 + 3 w L 4 < x - L > 0

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:

d M d x = - w x + w < x - L 2 > 1 - w < x - L > 1 + w L 4 + 3 w L 4 < x - L > 0

Integrando essa expressão, teremos:

M = - w x 2 2 + w 2 < x - L 2 > 2 - w 2 < x - L > 2 + w L 4 x + 3 w L 4 < x - L > 1 + C

Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso não temos nenhum, então teremos:

C = 0

Então nossa equação para o momento será:

M = - w x 2 2 + w 2 < x - L 2 > 2 - w 2 < x - L > 2 + w L 4 x + 3 w L 4 < x - L > 1

Passo 4

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = - w x 2 2 + w 2 < x - L 2 > 2 - w 2 < x - L > 2 + w L 4 x + 3 w L 4 < x - L > 1

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = - w x 3 6 + w 6 < x - L 2 > 3 - w 6 < x - L > 3 + w L 8 x 2 + 3 w L 8 < x - L > 2 + C 1

Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = - w x 4 24 + w 24 < x - L 2 > 4 - w 24 < x - L > 4 + w L 24 x 3 + 3 w L 24 < x - L > 3 + C 1 x + C 2

Passo 5

Beleza! Agora, para encontrar o valor das constantes C 1 e C 2 , nós vamos usar as condições de contorno que temos nos apoios, onde sabemos que não há deflexão, ou seja:

x = 0 → y = 0

x = L → y = 0

Substituindo a primeira condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:

E I . 0 = - w 0 4 24 + w 24 < 0 - L 2 > 4 - w 24 < 0 - L > 4 + w L 24 0 3 + 3 w L 24 < 0 - L > 3 + C 1 0 + C 2

C 2 = 0

Agora, vamos utilizar a segunda condição de contorno para obter o valor de C 1 , então teremos:

E I . 0 = - w L 4 24 + w 24 < L - L 2 > 4 - w 24 < L - L > 4 + w L 24 L 3 + 3 w L 24 < L - L > 3 + C 1 ( L )

0 = - w L 4 24 + w 24 L 2 4 - 0 + w L 4 24 + C 1 L

C 1 L = w L 4 24 - w L 4 384 - w L 4 24 → C 1 = - w L 3 384

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = - w x 4 24 + w 24 < x - L 2 > 4 - w 24 < x - L > 4 + w L 24 x 3 + 3 w L 24 < x - L > 3 + C 1 x + C 2

y = 1 E I - w x 4 24 + w 24 < x - L 2 > 4 - w 24 < x - L > 4 + w L 24 x 3 + 3 w L 24 < x - L > 3 - w L 3 384 x

Shoow! Bora pra (b) agora!

Passo 6

Agora para a letra (b), vamos utilizar a equação que encontramos para a linha elástica no passo 5, e vamos calcular no ponto B, onde temos x = L / 2 , então teremos:

y = 1 E I - w L 2 4 24 + w 24 < L 2 - L 2 > 4 - w 24 < L 2 - L > 4 + w L 24 L 2 3 + 3 w L 24 < L 2 - L > 3 - w L 3 384 L 2

y = 1 E I - w L 4 384 + 0 - 0 + w L 4 192 + 0 - w L 4 768

y = 1 E I - 2 w L 4 + 4 w L 4 - w L 4 768 → y = w L 4 768 E I

Quase lá em, falta só a (c) agora, desanima nãão!

Passo 7

Agora, para a letra (c), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos na letra (a) lá no passo 5 e calcular para o ponto D em x = 3 L / 2 , então teremos:

y = 1 E I - w 3 L 2 4 24 + w 24 < 3 L 2 - L 2 > 4 - w 24 < 3 L 2 - L > 4 + w L 24 3 L 2 3 + 3 w L 24 < 3 L 2 - L > 3 - w L 3 384 3 L 2

y = 1 E I - 81 w L 4 384 + w L 4 24 - w 24 L 2 4 + 27 w L 4 192 + 3 w L 24 L 2 3 - 3 w L 4 768

y = 1 E I - 81 w L 4 384 + w L 4 24 - w L 4 384 + 27 w L 4 192 + 3 w L 4 192 - 3 w L 4 768

y = 1 E I - 162 w L 4 + 32 w L 4 - 2 w L 4 + 108 w L 4 + 12 w L 4 - 3 w L 4 768 → y = - 5 w L 4 256 E I

Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : y = 1 E I - w x 4 24 + w 24 < x - L 2 > 4 - w 24 < x - L > 4 + w L 24 x 3 + 3 w L 24 < x - L > 3 - w L 3 384 x

b : y = w L 4 768 E I

c :   y = - 5 w L 4 256 E I

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Para a viga em balanço com o carregamento mostrado, determinar a declividade e a deflexão na extremidade livre.
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar: ( a ) a reação em C ; ( b ) a deflexão o ponto B . UsarE = 200G P a .
Para a viga em balanço com o carregamento mostrado, determinar a declividade e a deflexão na extremidade livre.