Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 42
Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a equação da linha elástica e (b) a deflexão no ponto médio C.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:
Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, e aí temos tudo o que precisamos pra resolver o exercício. Então bora lá!
Passo 2
Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:
Beleza! Vamos começar aplicando o somatório de momento em relação ao ponto B para descobrir o valor da reação no ponto A, então teremos:
Agora, como temos um carregamento distribuído que não vai até o final da viga, sabemos que devemos aplicar um carregamento equivalente ao mostrado no enunciado, mas com carregamentos que se prolonguem até o final da viga, para que possamos usar a equação da singularidade. Então o carregamento distribuído equivalente será:
Passo 3
Então, para o carregamento distribuído equivalente mostrado no passo 2, sabendo que a derivada da equação de cisalhamento corresponde ao carregamento, podemos escrever:
Agora, integrando essa expressão, teremos:
Nesse caso, a constante corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, como tomamos como referência do nosso sistema de coordenadas o ponto A, só teremos a reação , então nossa constante será:
Então a equação para o cisalhamento se torna:
Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:
Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:
Integrando essa expressão, teremos:
Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, como no nosso caso não temos nenhum, teremos:
Então nossa equação para o momento será:
Passo 4
Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:
Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:
Agora nós vamos integrar a equação novamente para obter a equação da deflexão, então teremos:
Passo 5
Beleza! Agora para encontrar o valor das constantes e vamos utilizar as condições de contorno que temos. No nosso caso, sabemos que a deflexão será zero nos apoios A e B, então teremos:
Substituindo a primeira relação na equação para a deflexão, temos:
Agora, substituindo a segunda condição de contorno na equação da deflexão, teremos:
Então, a nossa equação para a linha elástica será:
Shoow! Bora pra (b) agora!
Passo 6
Agora para a letra (b), vamos utilizar a equação que encontramos para a linha elástica no passo 5 e calcular para o ponto C, onde temos . Então teremos:
Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!