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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 74

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar (a) a equação da linha elástica e (b) a deflexão no ponto médio C.

Passo 1

Fala aí galera. Bora pra outra questão. Primeiramente, vamos determinar as reações. Sabemos que:

∑ M A = 0 → L 2 × 1 3 w 0 L 4 = F B L

F B = w 0 L 24  

F A = w 0 L 4 - F B = 6 w 0 L 24 - w 0 L 24 = 5 w 0 L 24

Como queremos a deflexão no ponto C ,   só precisamos do momento até ele.

Logo, a equação do momento em função de x será:

M x = F A x - w 0 x 2 2 = 5 w 0 L 24 x - w 0 x 2 2

Portanto, a equação da linha elástica é dada por:

d y 2 d 2 x = M x E I

d y 2 d 2 x = 5 w 0 L 24 x - w 0 x 2 2 E I

Passo 2

Agora, vamos integrar a equação acima uma vez em relação a x para acharmos declividade. Logo:

E I   θ = 5 w 0 L 48 x ² - w 0 x 3 6 + C 1

Para determinar C 1 ,   vamos usar as condições de contorno. Sabemos que:

θ 0 = - θ ( L )

Logo:

θ 0 = C 1

θ L = 5 w 0 L ³ 48 - w 0 L 3 6 + C 1

C 1 = - 5 w 0 L 3 48 + w 0 L 3 6 - C 1

C 1 = 3 w 0 L 3 96

Portanto:

E I   θ = w 0 L x ² 8 - w 0 x 3 9 + 3 w 0 L 3 96

Iremos integrar a equação novamente em relação a x   para encontramos a deflexão. Ou seja:

E I   y = w 0 L x ³ 24 - w 0 x 4 36 + 3 w 0 L 3 96 x + C 2

Do mesmo modo, sabemos que:

y 0 = 0

C 2 = 0

Logo:

E I   y = w 0 L x ³ 24 - w 0 x 4 36 + 3 w 0 L 3 96 x

Passo 3

Agora, basta calcular os itens pedidos. Para a letra b:

E I y L 2 = w 0 L 4 38 4 - w 0 L 4 288 + 3 w 0 L 4 192 = 17 w 0 L 4 1152

y L 2 = 17 w 0 L 4 1152 E I

Resposta

  1. d y 2 d 2 x = 5 w 0 L 24 x - w 0 x 2 2 E I
  2. y L 2 = 17 w 0 L 4 1152 E I
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resolver as partes b e c do P r o b . 8 . 4 , considerando que a viga A B é um perfil laminado de aço W 15 0 x 24 e que w = 8760N / m , L = 1,80 m e E = 200G P a .
Para os carregamentos mostrados, determinar:A equação da curva elástica para a viga AB;A deflexão da extremidade livre;A declividade da extremidade.