Enunciado

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:

  1. A reação em D

Passo 1

Para usarmos as funções singulares, podemos girar a nossa seção, e fazermos uma mudança para facilitar o nosso cálculo, assim, podemos trabalhar com a seguinte viga:

Separando por regiões temos:

Assim temos que os momentos vão ser dados por:

M 1 = R D x

M 2 = R D x - 30 < x - 5 > < x - 5 > 2 = R D x - 15 < x - 5 > 2

M 3 = R D x + 30 < x - 10 > < x - 10 > 2 = R D x + 15 < x - 10 > 2

E assim podemos definir o nosso momento fletor como sendo:

M x = R D x - 15 < x - 5 > 2 + 15 < x - 10 > 2

E esse momento que iremos usar na nossa equação, então vamos porá o próximo passo.

Passo 2

Sabemos que a equação que iremos relacionar a integração é dada por:

E I d 2 y d x 2 = M x = R D x - 15 < x - 5 > 2 + 15 < x - 10 > 2

Integrando duas vezes teremos que:

E I θ = R D x 2 2 - 15 3 < x - 5 > 3 + 15 3 < x - 10 > 3 + C 1

E I y = R D x 3 6 - 15 12 < x - 5 > 4 + 15 12 < x - 10 > 4 + C 1 x + C 2

E sabemos que as condições de contorno vão ser dadas por:

E assim podemos descobrir as nossas incógnitas.

Passo 3

Olhando cada uma das condições de contorno, vamos ter que:

  • y 0 = 0
  • Para o ponto inicial, consideramos as equações singulares iguais a zero por elas não estarem no intervalo que estamos, assim, podemos determinar que:

    E I y = R D x 3 6 + C 2

    0 = R D 0 3 6 + C 2

    C 2 = 0

  • θ 15 = 0
  • Aqui usamos a equação inteira, assim vamos ter que:

    E I θ = R D x 2 2 - 15 3 < x - 5 > 3 + 15 3 < x - 10 > 3 + C 1

    0 = R D 15 2 2 - 15 3 ( 15 - 5 ) 3 + 15 3 ( 15 - 10 ) 3 + C 1

    0 = 112,5 R D - 5000 + 625 + C 1

    0 = 112,5 R D - 4375 + C 1

  • y 15 = 0

Aqui usamos a equação inteira, assim vamos ter que:

E I y = R D x 3 6 - 15 12 < x - 5 > 4 + 15 12 < x - 10 > 4 + C 1 x + C 2

0 = R D 15 3 6 - 15 12 ( 15 - 5 ) 4 + 15 12 ( 15 - 10 ) 4 + C 1 15 + 0

0 = 562,5 R D - 12500 + 781,25 + C 1 15 + 0

0 = 562,5 R D - 11718,75 + C 1 15

Assim temos o seguinte sistema de equações:

112,5 R D - 4375 + C 1 = 0 562,5 R D - 11718,75 + C 1 15 = 0

Resolvendo o nosso sistema, temos que:

112,5 R D - 4375 + C 1 = 0       ( × - 15 ) 562,5 R D - 11718,75 + C 1 15 = 0

- 1687,5 R D + 65625 - 15 C 1 = 0       562,5 R D - 11718,75 + C 1 15 = 0

1125 R D = 53906,25

R D = 47,9   k N

Resposta

  1. R D = 47,9   k N
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