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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 50

Para a viga de madeira e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a reação no apoio móvel (b) a deflexão no ponto C.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí só precisamos calcular o valor do momento de inércia para substituir os valores conhecidos nas equações que encontramos. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Nesse caso, podemos escrever direto a equação de singularidade para o momento da viga, que será:

M = A y x - M < x - L 2 > 0

Passo 3

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = A y x - M < x - L 2 > 0

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = A y x 2 2 - M < x - L 2 > 1 + C 1

Agora, para descobrir o valor de C 1 vamos utilizar a equação de contorno no engaste onde sabemos que não temos inclinação, ou seja:

x = L → d y d x = 0

Substituindo esses valores na equação para a inclinação, teremos:

E I . 0 = A y ( L ) 2 2 - M < L - L 2 > 1 + C 1 → C 1 = M L 2 - A y L 2 2

Agora nós vamos integrar a equação da inclinação para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = A y x 3 6 - M 2 < x - L 2 > 2 + M L x 2 - A y L 2 x 2 + C 2

Passo 4

Beleza! Agora, para encontrar o valor da constante C 2 , nós vamos usar a condição de contorno no apoio A, sabendo que não temos deflexão nesse ponto, teremos:

x = 0 → y = 0

Substituindo essa condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:

E I . 0 = A y ( 0 ) 3 6 - M 2 < 0 - L 2 > 2 + M L ( 0 ) 2 - A y L 2 ( 0 ) 2 + C 2

C 2 = 0

Então, a equação para a linha elástica será:

E I . y = A y x 3 6 - M 2 < x - L 2 > 2 + M L x 2 - A y L 2 x 2 + C 2

y = 1 E I A y x 3 6 - M 2 < x - L 2 > 2 + M L x 2 - A y L 2 x 2

E a equação para a inclinação será:

E I . d y d x = A y x 2 2 - M < x - L 2 > 1 + C 1

d y d x = 1 E I A y x 2 2 - M < x - L 2 > 1 + M L 2 - A y L 2 2

Passo 5

Agora para a letra (a), para determinar a reação no apoio móvel, vamos utilizar a equação para a deflexão obtida no passo 5 e calcular em x = L , pois sabemos que nesse ponto temos a seguinte condição de contorno:

x = L → y = 0

Substituindo essa condição de contorno na equação da deflexão, teremos:

0 = 1 E I A y L 3 6 - M 2 < L - L 2 > 2 + M L ( L ) 2 - A y L 2 ( L ) 2

0 = 1 E I A y L 3 6 - M L 2 8 + M L 2 2 - A y L 3 2 → A y L 3 2 - A y L 3 6 = M L 2 2 - M L 2 8

A y = 1,125 M L

Quase lá em, falta só a (b) agora!

Passo 6

Agora, para a letra (b), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos lá no passo 5 e calcular para o ponto C em x = L / 2 , lembrando de substituir também a expressão para A y encontrada no passo 5, então teremos:

y = 1 E I 1,125 M L L 2 3 6 - M 2 < L 2 - L 2 > 2 + M L L 2 2 - 1,125 M L L 2 L 2 2

y = 1 E I 1,125 M L 2 48 - 0 + M L 2 4 - 1,125 M L 2 4

y = - 7,8125.10 - 3   m

Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : A y = 1,125 M L

b : y = - 7,8125.10 - 3   m

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