Enunciado

Uma viga de seção transversal mostrada é feita de um aço que é considerado elastoplásticos com E = 200   G P a e σ e = 240   M P a . Por flexão em torno do eixo z, determinar o momento fletor e o raio de curvatura para que: (a) ocorra o início do escoamento. (b) as zonas plásticas, superior e inferior, da viga tenham 25 mm de espessura.

Passo 1

A questão nos dá a espessura da zona plástica, que foi esquematizada abaixo.

Então, é fácil de ver pela figura que a espessura da zona plástica é:

E s p e s s u r a = 50   m m

Então:

y e = 25   m m

Passo 2

Como agora estamos trabalhando em regime elastoplástico, a gente pode calcular o raio de curvatura utilizando a equação:

ρ = y e E σ e

ρ = 25   m m ⋅ 200   G P a 240   M P a

ρ = 25 ⋅ 10 - 3   m ⋅ 200 ⋅ 10 3   M P a 240   M P a

ρ = 20,83   m

Passo 3

Para calcular o momento aplicado vamos voltar pra teoria das tensões. Observe a figura abaixo, na região plástica a tensão é constante, já na região elástica a tensão é linear.

Vamos lembrar que a tensão é dada por σ = F A . Com isso em mente, podemos calcular duas forças equivalentes às tensões.

F 1 = σ e A v e r m e l h a = 240   M P a ⋅ 25   m m ⋅ 75   m m = 450   k N

F 2 = 1 2 σ e A v e r d e = 1 2 240   M P a ⋅ 25   m m ⋅ 25   m m = 75   k N

Como a viga é simétrica, a região superior e inferior sofrem os mesmos esforços, porém, em compressão! Essas forças formam binários, e a resultante destes binários é o momento sobre a viga.

M = 2 ⋅ F 1 ⋅ 37,5   m m + 2 ⋅ F 2 ⋅ 50 3 m m

M = 2 ⋅ 450   k N m ⋅ 37,5   m m + 2 ⋅ 75   k N m ⋅ 50 3 m m

M = 36,25   k N m

Resposta

M = 36,25   k N ⋅ m

ρ = 20,83   m

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