Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 42a
Uma viga de madeira de foi reforçada, parafuçando-se reforçadores de aço como mostrado. Os módulos de elasticidade para a madeira é de e para o aço . Sabendo-se que a viga é encurvada em torno do eixo horizontal, por um momento , determinar a máxima tensão na: (a) madeira.
Passo 1
O problema pede a máxima tensão, que é dada pela equação:
Onde:
- é a tensão normal admissível.
- é o momento fletor.
- o momento de inércia.
- a maior distância entre a linha neutra e um ponto da peça.
Porém, além de ter que utilizar essa equação temos uma peça formada por dois materiais diferentes e para isso vamos ter que achar a seção transformada. Posteriormente, vamos poder utilizar a nossa equação do momento fletor tranquilamente.
Então vamos lá!
Passo 2
O cálculo da seção transformada é feito da seguinte maneira, sabendo que a viga é encurvada no eixo horizontal. Originalmente temos:
OBS: Aqui é importante ressaltar que devido a um erro na tradução do texto a espessura do reforço de aço foi omitido e então utilizaresmo o valor de .
Observe que a linha central (com traços e pontos) está representando o eixo por onde a a viga é encurvada.
Agora vamos transformar essa peça em uma outra equivalente e toda feita de madeira. Fazemos isso por meio de uma relação da forma:
Presta atenção agora! Vamos pegar as dimensões da peça de aço que são paralelas ao eixo e multiplicar pelo fator . Obtendo a seção transformada:
Pronto! Temos a seção transformada (toda em madeira no caso). Agora vamos calcular o momento de inércia desta seção no passo 3.
Passo 3
O momento de inércia é calculado normalmente, para seções retangulares, da forma:
Mas como essa peça não é simétrica, nós temos de achar a linha neutra através de contas. Vamos fazer isso da seguinte forma:
Onde:
- é a posição da linha neutra em relação ao centro da peça.
- é a posição do centroide de cada parte da peça.
- é a área de cada parte da peça.
Assim vamos ter:
Antes de aplicarmos a equação para achar o centroide da peça como um todo vamos achar os valores e , que são, respectivamente, a posição do centroide da peça 1 (superior) e a posição do centroide da peça 2 (inferior).
Já para
Percebe que é muito pequeno e por isso não foi colocado no desenho (iria ficar difícil de enxergar). Agora vamos calcular
Aqui colocamos todas as dimenstões em milímetros e vale lembrar que a distância do centroide da parte inferior ao eixo é igual a zero.
Logo a posição da linha neutra, representada pela linha amarela, será:
Passo 4
Voltando ao cálculo do momento de inércia:
Para a parte inferior vamos ter de aplicar o teorema dos eixos paralelos, onde :
Agora para a parte superior também teremos de aplicar o teorema dos eixos paralaleos, mas agora com .
Passo 5
Agora é só jogar na equação da tensão!
Observe que a distância é a maior distância entre o eixo e a peça!
obs: O sinal negativo aparece porque estamos analisando de cima para baixo, ao invés de baixo para cima.
Resposta
a)