Enunciado

A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine a equação da linha elástica. EI é constante.

Passo 1

Fala! A gente quer as equações da linha elástica para essa viga. Vamos usar as funções de Macaulay para isso. Aí a gente só precisa achar uma equação.

E para facilitar, vamos usar a tabelinha 12.2 também.

Primeira coisa é calcular s reações de apoio dessa viga fofa:

Considerando que nossas reações estão para cima:

↺ ∑ M A = 0 → + 6 1,5 2 2 + 3 F B - 20 4,5 = 0 → F B = 27,75   k N

∑ F y = 0 → F A = - 27,75 + 6 1,5 + 20 = 1,25   k N

Passo 2

Aí para usar a tabela 12.2, fazemos um esqueminha, colocando x com origem na extremidade direita e mostrando a posição de cada força em relação a ele, deixando só a extremidade esquerda de fora. Assim:

A gente deixou a origem de x na direita, para que ao andar para a esquerda, o carregamento distribuído vá até o final da viga. Aí a gente pode usar a tabelinha para ela também.

Aí para montar a equação de fato, olhamos cada força aplicada. A primeira é a de 20 k N . Ela está distante x do ponto onde calculamos M x , e causa um momento no mesmo sentido, então:

M 1 = - 20 x

Depois temos a força F B . Usando a tabelinha, para forças pontuais com sentido para cima, distantes a = 1,5   m da origem, o momento fica:

M 2 = P < x - a > 1 = 27,75 < x - 1,5 > 1

Acontece algo parecido para F A , onde a = 4,5 :

M 3 = P < x - a > 1 = 1,25 < x - 4,5 > 1

E para a força distrubuída que começa distante a = 4,5 da origem e vai até o fim da viga, a fórmulinha é:

M 4 = - w 0 2 < x - a > 2 = - 6 2 < x - 4,5 > 2 = - 3 < x - 4,5 > 2

Passo 3

Montando a equação do momento, ficaremos com:

M x = M 1 + M 2 + M 3 + M 4

M x = - 20 x + 27,75 < x - 1,5 > 1 + 1,25 < x - 4,5 > 1 - 3 < x - 4,5 > 2

Sabemos que:

E I d 2 v d x 2 = M x = - 20 x + 27,75 < x - 1,5 > 1 + 1,25 < x - 4,5 > 1 - 3 < x - 4,5 > 2

Integrando cada lado 2 vezes, temos:

E I   v ' = - 10 x 2 + 27,75 2 < x - 1,5 > 2 + 1,2 5 2 < x - 4,5 > 2 - < x - 4,5 > 3 + C 1

E I v = - 10 3 x 3 + 27,75 6 < x - 1,5 > 3 + 1,2 5 6 < x - 4 , 5 > 3 - < x - 4,5 > 4 4 + C 1 x + C 2  

Passo 4

As condições de contorno são:

x = 1,5 → v = 0

x = 4,5 → v = 0

Isso porque os apoios não permitem deflexão.

Aqui a gente lembra que as funções < x - a . > são zero se x < a .

Logo, teremos:

x = 1,5 → v = 0

0 = - 10 3 1,5 3 + C 1 1,5 + C 2  

x = 4,5 → v = 0

0 = - 10 3 4.5 3 + 27,75 6 3 3 + C 1 4,5 + C 2

Rsolvendo esse sistema:

C 1 = 55,875   ;   C 2 = - 72,5625

Logo, a equação será:

v = 1 E I ( - 10 3 x 3 + 27,75 6 < x - 1,5 > 3 + 1,25 6 < x - 4,5 > 3 - < x - 4,5 > 4 4 + 55,875 x - 72,5625   )

Resposta

v = 1 E I ( - 10 3 x 3 + 27,75 6 < x - 1,5 > 3 + 1,25 6 < x - 4,5 > 3 - < x - 4,5 > 4 4 + 55,875 x - 72,5625   )

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