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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 46

A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine as equações da inclinação e da linha elástica. EI é constante

Passo 1

Começamos calculando as reações de apoio

∑ M A = - 2 ⋅ 5 ⋅ 2,5 + R B ⋅ 5 - 8 ⋅ 8 = 0

R B = 17,8   k N

∑ F Y = 0 ⇒ R A - 2 ⋅ 5 + R B - 8 = 0

R A = 0,2   k N

Passo 2

Para que possamos aplicar as equações de descontinuidade nesta viga, precisamos que o carregamento se estenda até o final da viga. Fazemos isso complementando o carregamento em cima, e aplicando um carregamento igual em sentido inverso para compensar:

Passo 3

Vamos utilizar o carregamento equivalente para calcular uma equação para o momento fletor:

M x = 0,2 < x - 0 > 1 - 2 2 < x - 0 > 2 + 17,8 < x - 5 > + 2 2 < x - 5 > 2 + 8 < + x - 8 > 1

Podemos simplificar a expressão ignorando as forças que ficam na extremidade final da viga. Outra simplificação possível é: < x - 0 > n = x n se n > 0

A equação de momento fletor é:

M x = 2 10 x - x 2 + 17 , 8 < x - 5 > 1 + < x - 5 > 2

Passo 4

Vamos integrar uma vez para determinar a equação da inclinação

E I ⋅ θ = ∫ M x d x

E I ⋅ θ = ∫ 2 10 x - x 2 + 17,8 < x - 5 > 1 + < x - 5 > 2 d x

E I ⋅ θ = 1 10 x 2 - 1 3 x 3 + 17,8 2 < x - 5 > 2 + 1 3 < x - 5 > 3 + c 1

Passo 5

Vamos integrar mais uma vez para determinar a equação da linha elástica

E I ⋅ v = ∫ θ x d x

E I ⋅ v = ∫ 1 10 x 2 - 1 3 x 3 + 17,8 2 < x - 5 > 2 + 1 3 < x - 5 > 3 + c 1 d x

E I ⋅ v = 1 3 0 x 3 - 1 12 x 4 + 17,8 6 < x - 5 > 3 + 1 12 < x - 5 > 4 + c 1 x + c 2

Passo 6

Pela tabela 12.1 podemos ver as condições de contorno para o apoio do ponto A:

x A = 0

v A = 0

Aplicando na equação da linha elástica:

E I ⋅ 0 = 1 30 0 3 - 1 12 0 4 + 17,8 6 < 0 - 5 > 3 + 1 12 < 0 - 5 > 4 + c 1 ⋅ 0 + c 2

c 2 = 0

Passo 7

Pela tabela 12.1 podemos ver as condições de contorno para o apoio do ponto B:

x B = 5   m

v B = 0

Aplicando na equação da linha elástica:

E I ⋅ 0 = 1 30 5 3 - 1 12 5 4 + 17,8 6 < 5 - 5 > 3 + 1 12 < 5 - 5 > 4 + c 1 ⋅ 5

0 = 1 30 5 3 - 1 12 5 4 + 5 c 1

c 2 = 115 12

Passo 8

As equações são:

E I ⋅ θ = 1 10 x 2 - 1 3 x 3 + 17,8 2 < x - 5 > 2 + 1 3 < x - 5 > 3 + 115 12

E I ⋅ v = 1 30 x 3 - 1 12 x 4 + 17,8 6 < x - 5 > 3 + 1 12 < x - 5 > 4 + 115 12 x

Resposta

E I ⋅ θ = 1 10 x 2 - 1 3 x 3 + 17,8 2 < x - 5 > 2 + 1 3 < x - 5 > 3 + 115 12

E I ⋅ v = 1 30 x 3 - 1 12 x 4 + 17,8 6 < x - 5 > 3 + 1 12 < x - 5 > 4 + 115 12 x

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