25. A treliça é feita de barras de aço A - 36 e cada uma delas tem seção transversal circular. Se a carga aplicada for P = 50   k N , determine, com aproximação de múltiplos de 5   m m , o diâmetro do elemento estrutural A B que impedirá que esse elemento estrutural sofra flambagem. As extremidades dos elementos estruturais estão acopladas por pinos.

Passo 1

Primeiro, vamos montar o diagrama de corpo livre da estrutura:

Aqui, devemos fazer o somatório de forças e momentos para encontrar as reações R D e R B :

↶ + ∑ M B = 0 → - 0,9   m × R D + 2,4   m × 50   k N = 0

R D = 2,4   m × 50   k N 0,9

∴ R D = 133,33   k N

→ + ∑ F x = 0 → R D - R B = 0

R D = R B = 133,33   k N  

Agora, vamos analisar o ponto A :

↑ + ∑ F y = 0 → F A C y - 50   k N = 0

Mas não sabemos F A C y , então como fazemos?

Primeiro, a gente pode ver que a diagonal A G vale 1,5   m (triângulo 3   4   5 ).

Depois, é só a gente fazer a relação entre as medidas do triângulo e a força F A C y e suas componentes:

0,9 F A C y = 1,5 F A C → F A C y = 0,9 F A C 1,5

- 50   k N + 0,9 ⋅ F A C 1,5 = 0 → F A C = 1,5 0,9 ⋅ 50   k N

∴ F A C = 83,33   k N   ( T r a ç ã o )

→ + ∑ F x = 0 → F A C x - F A B = 0

É possível achar F A C x de forma semelhante ao jeito de achar F A C y , coma diferença de que em vez de 0,9   m , usamos 1,2   m :

F A C x = 1,2 F A C 1,5

F A C x = F A B → 1,2 F A C 1,5 = F A B

Como já achamos F A B :

F A B = 1,2 ⋅ 83,33   k N   1,5

∴ F A B = 66,67   k N   ( T r a ç ã o )

Passo 2

Fórmula de cálculo da força crítica na flambagem para o ponto A :

P c r = π 2 E I ( k L ) 2

Como as extremidades estão presas por pinos, temos k = 1 .

O momento de inércia, como é uma seção circular, é dado pela fórmula:

I = π 4 r 4

E temos, também, por ser dado no enunciado que é um aço A - 36 :

E = 200 × 10 9   P a

P c r = F A B = 66,67   k N = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( π 4 r 4   m 4 ) ( 1 × 2,4   m ) 2

∴ r = 22,31   m m

d = 2 ⋅ r → d = 2 ⋅ 22,31   m m

∴ d = 44,61   m m

Passo 3

Vamos calcular a tensão devido à força crítica σ c r para verificar se ele ultrapassa a tensão de escoamento σ e :

σ c r = P c r A

σ c r = 66,67   k N π × 0,0225 2   m 2

∴ σ c r = 41,92   M P a

σ c r = 41,92   M P a < σ e = 250   M P a

Como σ c r < σ e , a carga crítica é admissível nessa haste.

Resposta

Achamos, portanto, o valor do diâmetro do elemento que impedirá que a estrutura sofra flambagem, com aproximação de múltiplos de 5   m m é:

d = 45   m m

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