Exercícios Resolvidos de Método de williot para temperatura

Ver Teoria

Enunciado

Para estrutura abaixo, sabendo que à mesma possui a temperatura das fibras externas igual a - 10 0 ° C e a temperatura das fibras internas igual a + 100 ° C , determine a rotação dos pontos B, C e D.

α = 1   .   10 - 5

Passo 1

Antes de tudo precisamos saber a temperatura no T g da nossa estrutura, sabemos que se for diferente de zero, deveremos usar williot, se for igual a zero, teremos que usar as formulazinhas básicas que temos.

Com isso, basta desenharmos o nosso diagrama de temperatura, e vermos no que vai dar, sendo assim teremos que:

Com isso vemos que a nossa estrutura tem a temperatura no centro de gravidade igual a zero.

Logo as fórmulas que temos que usar são:

  • Caso Bi-engastado
  • M A = - M B = E J α t i - t e h

  • Caso Engastado e apoiado
  • M A = 3 E J α t i - t e 2 h

    E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o t g = 0 .

    Mas ainda tem uma observação muito importante:

    Os sinais dos momentos são feitos levando em consideração que ∆ t > 0 , ou seja, que as temperaturas das fibras internas são maiores que as da externa.

    E no nosso caso é exatamente isso que acontece, então podemos ficar tranquilos quanto a isso.

    Passo 2

    Sabendo qual é o nosso caso, precisamos agora definir as nossas deslocabilidades.

  • Sabemos que os pontos A, F, G e E são indeslocáveis
  • Sendo assim, os pontos B, C e D também serão considerados indeslocaveis.
  • Dessa maneira não temos deslocabilidades externas
  • Mas os pontos B, C e D podem rotacionar, e precisamos travar isso com uma chapa.
  • Logo temos 3 deslocabilidades internas

Sendo assim, desenhando a nossa estrutura, vamos ter que:

Passo 2

Determinado tudo isso vamos definir o valor de β 10 .

Sabemos que tanto a barra AB quanto as barras BC, CD e DE apresentam um engaste em uma ponta e uma chapa na outra, ou ainda chapa em ambas as pontas, sendo assim, podemos considerar elas bi-engastadas, e para a barra bi engastada a equação é:

M A = - M B = E J α t i - t e h

Mas a barra está em pé, o que faremos? Basta vira a figura.

Assim podemos aplicar essa fórmula nas seguintes barras:

  • AB
  • BC
  • CD
  • DE

Fazendo isso teremos que:

Como essa fórmula independe do comprimento, podemos calcular uma das equações e depois substituir na estrutura respeitando o sinal.

M = E J α t i - t e h = 1500   .     1   .     10 - 5 100 - ( - 100 ) 0,60 = 5

Substituindo na estrutura teremos que:

Para as barras CF e DG, podemos ver que de um lado temos a chapa e do outro temos um apoio, ou seja, podemos considerar essas barras do tipo engastadas e apoiadas, e a fórmula a ser usada nela é:

M A = 3 E J α t i - t e 2 h

E aplicando isso a nossa estrutura teremos que:

Perceba que para respeitar a regrinha de o momento sempre sair das fibras inferiores e ir pra superiores, nós invertemos o sentido do momento para ficar tudo certinho.

Substituindo na fórmula teremos que

M = 3 E J α t i - t e 2 h = 3   .     15 00   . 1.10 - 5 10 0 - ( - 10 0 ) 2   .     0,60 = 7,5

Olhando a estrutura com todos os momentos teremos que:

Assim teremos que a rigidez total em D será dado por:

β 10 = - 5 + 5 = 0

β 20 = - 5 + 5 - 7,5 = - 7,5

β 3 0 = - 5 + 5 - 7,5 = - 7,5

Passo 3

Agora vamos rotacionar a chapa 1, para podermos determinar os valores de β 11 , β 21 e β 31 .

Perceba que as duas barras que chegam na chapa 1 são Bi-engastadas, logo a fórmula a ser usada é:

Substituindo certinho temos que:

Juntando o que têm-se em cada nó, teremos que:

β 11 = 4 E J L 1 + 4 E J L 2 = 4   . 1500 5 + 4   . 1500 2 = 4200

β 21 = 2 E J L 2 = 2   .   1500 2 = 1500

β 31 = 0

Passo 4

Agora vamos rotacionar a chapa 2, para podermos determinar os valores de β 22 , β 12 e β 32 .

Perceba que as duas barras horizontais que chegam na chapa 2 são Bi-engastadas, e a barra vertical que chega na chapa 2 é engastada e apoiada, logo as fórmulas a serem usadas são:

Substituindo certinho temos que:

Juntando o que têm-se em cada nó, teremos que:

β 12 = 2 E J L 2 = 2   . 1500 2 = 1500

β 22 = 4 E J L 2 + 3 E J L 3 + 4 E J L 4 = 4   .     1500 2 + 3   .     1500 5 + 4     .     1500 1 = 9900

β 32 = 2 E J L 4 = 2   . 1500 1 = 3000

Passo 5

Agora vamos rotacionar a chapa 3, para podermos determinar os valores de β 33 , β 13 e β 23 .

Perceba que a barra horizontal que chega na chapa 3 é Bi-engastadas, e a barra vertical que chega na chapa 3 é engastada e apoiada, logo as fórmulas a serem usadas são:

Substituindo certinho temos que:

Juntando o que têm-se em cada nó, teremos que:

β 23 = 2 E J L 4 = 2   . 1500 1 = 3000

β 33 = 4 E J L 4 + 3 E J L 5 + 4 E J L 6 = 4   .     1500 1 + 3   .     1500 5 + 4     .     1500 2 = 9900

β 13 = 0

Passo 6

Organizando o sistema temos que:

β 10 + β 11 ∆ 1 + β 12 ∆ 2 + β 13 ∆ 3 = 0

β 20 + β 21 ∆ 1 + β 22 ∆ 2 + β 23 ∆ 3 = 0

β 30 + β 31 ∆ 1 + β 32 ∆ 2 + β 33 ∆ 3 = 0

Substituindo temos que:

0 + 4200 ∆ 1 + 1500 ∆ 2 + 0 ∆ 3 = 0

- 7,5 + 1500 ∆ 1 + 9900 ∆ 2 + 3000 ∆ 3 = 0

- 7,5 + 0 ∆ 1 + 3000 ∆ 2 + 9900 ∆ 3 = 0

Assim o nosso sistema será:

4200 ∆ 1 + 1500 ∆ 2 + 0 ∆ 3 = 0

1500 ∆ 1 + 9900 ∆ 2 + 3000 ∆ 3 = 7,5

0 ∆ 1 + 3000 ∆ 2 + 9900 ∆ 3 = 7,5

E perceba que como não usamos fator de redução, os valores de deltas já nós darão as rotações diretas dos pontos pedidos, sendo assim teremos que:

∆ 1 = - 2,21   .   10 - 4   r a d

∆ 2 = 6,18   .   10 - 4   r a d

∆ 3 = 5,70   .   10 - 4   r a d

Resposta

∆ 1 = - 2,21   .   10 - 4   r a d

∆ 2 = 6,18   .   10 - 4   r a d

∆ 3 = 5,70   .   10 - 4   r a d