Exercícios Resolvidos de Método de williot para temperatura

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Enunciado

Para estrutura abaixo, sabendo que à mesma possui a temperatura das fibras externas igual a - 5 0 ° C e a temperatura das fibras internas igual a + 5 0 ° C , determine a rotação dos pontos B e C.

α = 1   .   10 - 5

E = 2250000   k N / m 2

E J = 54000   k N m 2

10 3 J = 24

J = 0,024

Passo 1

Antes de tudo precisamos saber a temperatura no T g da nossa estrutura, sabemos que se for diferente de zero, deveremos usar williot, se for igual a zero, teremos que usar as formulazinhas básicas que temos.

Com isso, basta desenharmos o nosso diagrama de temperatura, e vermos no que vai dar, sendo assim teremos que:

Com isso vemos que a nossa estrutura tem a temperatura no centro de gravidade igual a zero.

Logo as fórmulas que temos que usar são:

  • Caso Bi-engastado
  • M A = - M B = E J α t i - t e h

  • Caso Engastado e apoiado
  • M A = 3 E J α t i - t e 2 h

    E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o t g = 0 .

    Mas ainda tem uma observação muito importante:

    Os sinais dos momentos são feitos levando em consideração que ∆ t > 0 , ou seja, que as temperaturas das fibras internas são maiores que as da externa.

    E no nosso caso é exatamente isso que acontece, então podemos ficar tranquilos quanto a isso.

    Passo 2

    Sabendo qual é o nosso caso, precisamos agora definir as nossas deslocabilidades.

  • Sabemos que os pontos A, E e D são indeslocáveis
  • Sendo assim, os pontos B e C também serão considerados indeslocaveis.
  • Dessa maneira não temos deslocabilidades externas
  • Mas os pontos B e C podem rotacionar, e precisamos travar isso com uma chapa.
  • Logo temos 2 deslocabilidades internas

Sendo assim, desenhando a nossa estrutura, vamos ter que:

Passo 2

Determinado tudo isso vamos definir o valor de β 10 .

Sabemos que tanto a barra AD quanto a barra DC apresentam um engaste em uma ponta e uma chapa na outra, sendo assim, podemos considerar elas bi-engastadas, e para a barra bi engastada a equação é:

M A = - M B = E J α t i - t e h

Mas a barra está em pé, o que faremos? Basta vira a figura.

Assim podemos aplicar essa fórmula nas seguintes barras:

  • AB
  • BC
  • CE

Fazendo isso teremos que:

Como essa fórmula independe do comprimento, podemos calcular uma das equações e depois substituir na estrutura respeitando o sinal.

M = E J α t i - t e h = 54000   .     1   .     10 - 5 50 - ( - 50 ) 0,60 = 90

Substituindo na estrutura teremos que:

Para a barra CD, podemos ver que de um lado temos a chapa e do outro temos um apoio, ou seja, podemos considerar essa barra do tipo engastada e apoiada, e a fórmula a ser usada nela é:

M A = 3 E J α t i - t e 2 h

E aplicando isso a nossa estrutura teremos que:

Perceba que para respeitar a regrinha de o momento sempre sair das fibras inferiores e ir pra superiores, nós invertemos o sentido do momento para ficar tudo certinho.

Substituindo na fórmula teremos que

M = 3 E J α t i - t e 2 h = 3   .     54000   . 1.10 - 5 50 - ( - 50 ) 2   .     0,60 = 135

Olhando a estrutura com todos os momentos teremos que:

Assim teremos que a rigidez total em D será dado por:

β 10 = 90 - 90 = 0

β 20 = - 90 - 90 + 135 = - 45

Passo 3

Agora precisamos determinar a parcela referente a rotação que pode ser unitária ou podemos usar o conceito de rigidez relativa:

  • β 11 e β 21
  • Sabemos aqui que temos que rotacionar a chapa 1, e sabemos que se fizermos isso nos sentido anti-horário, sempre teremos os nossos momentos positivos, sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para as barras 2 e 3 respeitando o caso biengastado ou engastado e apoiado:

    E rotacionando a chapa 1 e aplicando as equações teremos:

    Veja que temos:

    β 11 = 4 E J l 1 + 4 E J l 2

    Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

    10 3 4 E

    E assim teremos:

    β 11 = 4 E J l 1 + 4 E J l 2 10 3 4 E

    Como já vimos no início dessa aula, 10 3 J = 24 , substituindo teremos que:

    β 11 = 24 l 1 + 24 l 2 = 24 6 + 24 8 = 4 + 3 = 7

    Veja também que:

    β 21 = 2 E J l 2

    Como já usamos o fator de rigidez relativa, devemos continuar usando ele, e perceba que não podemos mudar mais, se usamos em um, temos que usar o mesmo em todos, sendo assim teremos que:

    10 3 4 E

    E assim teremos:

    β 21 = 2 E J l 2 10 3 4 E = J 2 l 2

    Como já vimos no início dessa aula, 10 3 J = 24 , substituindo teremos que:

    β 21 = 24 2 l 2 = 24 2   .     8 = 1,5

    Passo 5

    Determinando o resto do sistema teremos que:

  • β 12 e β 22

Sabemos aqui que temos que rotacionar agora a chapa 2, e sabemos que se fizermos isso nos sentido anti-horário, sempre teremos os nossos momentos positivos, sendo assim teremos a seguinte tabela a ser usada para as barras 2 e 3 respeitando o caso biengastado ou engastado e apoiado:

E rotacionando a chapa 2 e aplicando as equações teremos:

Veja que temos:

β 12 = 2 E J l 2

Parece meio complicado calcularmos isso, certo? Então podemos usar o nosso fator para rigidez relativa:

10 3 4 E

E assim teremos:

β 12 = 2 E J l 2 10 3 4 E = J 2 l 2

Como já vimos no início dessa aula, 10 3 J = 24 , substituindo teremos que:

β 12 = 24 2 l 2 = 24 2   .     8 = 1,5

Veja também que:

β 22 = 4 E J l 2 + 3 E J l 3 + 4 E J l 4

Como já usamos o fator de rigidez relativa, devemos continuar usando ele, e perceba que não podemos mudar mais, se usamos em um, temos que usar o mesmo em todos, sendo assim teremos que:

10 3 4 E

E assim teremos:

β 22 = 4 E J l 2 + 3 E J l 3 + 4 E J l 4 10 3 4 E = J l 2 + 3 J 4 l 3 + J l 4

Como já vimos no início dessa aula, 10 3 J = 24 , substituindo teremos que:

β 22 = 24 8 + 3   .     24 4   .     6 +   24     6 = 10

Passo 4

Agora que já fizemos a parte mais difícil, basta montarmos o nosso sistema de equações que será:

β 10 + β 11 ∆ 1 + β 12 ∆ 2 = 0

β 20 + β 21 ∆ 1 + β 22 ∆ 2 = 0

0 + 7 ∆ 1 + 1,5 ∆ 2 = 0

- 45 + 1,5 ∆ 1 + 10 ∆ 2 = 0

7 ∆ 1 + 1,5 ∆ 2 = 0

1,5 ∆ 1 + 10 ∆ 2 = 45

Resolvendo esse sistema teremos que:

∆ 1 = - 1,0

∆ 2 = 4,65

Perceba que os valores de deformações calculados já são as deformações de rotação dos pontos pedidos no enunciado, ou seja, o ponto B (referente a ∆ 1 ) e o ponto C (referente a ∆ 2 ) .

Porém tome cuidado, porque para calcularmos essas deformações usamos um conceito de rigidez relativa, que é exatamente o fatorzinho que usamos pra facilitar o cálculo, que é dado por:

10 3 4 E

Então basta usarmos esse fator para descobrirmos a deformação verdadeira:

∆ 1 = ∆ 1 10 3 4 E = - 1,0   .   10 3 4   .     2250000 = - 1,11   .   10 - 4   r a d

∆ 2 = ∆ 2 10 3 4 E = 4,65   .   10 3 4   .     2250000 = 5,17   .   10 - 4   r a d

Resposta

∆ 1 = - 1,11   .   10 - 4   r a d

∆ 2 = 5,17   .   10 - 4   r a d