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Exercícios Resolvidos de Obtenção da Função Vetorial Inversa

Ver Teoria
Exercício 21

Enunciado

Considere a função T : R 3 → R ³ definida por:

T x , y , z = 4 0 5 0 1 - 6 3 0 4 x - 1 y z - 1 + 1 5 2 = u v w

Sabendo que ela é inversível, determine T - 1 ( u , v , w ) .

Passo 1

Bem, o que a gente tem ai é uma função afim

T X = A . X - X 0 + Y 0

Onde

A = 4 0 5 0 1 - 6 3 0 4

X = x y z

X 0 = 1 0 1

Y 0 = 1 5 2

Para descobrir a inversa dela, precisamos fazer:

T - 1 Y = A - 1 Y - Y 0 + X 0

Passo 2

Vamos calcular A - 1 :

A - 1 = 4 0 5 0 1 - 6 3 0 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → l 1 - l 3 1 0 1 0 1 - 6 3 0 4 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1

→ l 3 - 3 l 1 1 0 1 0 1 - 6 0 0 1 1 0 - 1 0 1 0 - 3 0 4 → l 1 - l 3 1 0 0 0 1 - 6 0 0 1 4 0 - 5 0 1 0 - 3 0 4

→ ( l 2 + 6 l 3 ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 0 - 5 - 18 1 24 - 3 0 4

Logo,

A - 1 = 4 0 - 5 - 18 1 24 - 3 0 4

Passo 3

Agora é só substituir na fórmula:

A - 1 = 4 0 - 5 - 18 1 24 - 3 0 4

X 0 = 1 0 1

Y 0 = 1 5 2

Y = u v w

T - 1 Y = A - 1 Y - Y 0 + X 0

T - 1 Y = 4 0 - 5 - 18 1 24 - 3 0 4 u - 1 v - 5 w - 2 + 1 0 1

Resposta

T - 1 Y = 4 0 - 5 - 18 1 24 - 3 0 4 u - 1 v - 5 w - 2 + 1 0 1