Morfologia
Teoria
Introdução
Já vimos que as partículas não são necessariamente esféricas e vimos no tópico de tamanho como calcular o diâmetro equivalente delas.
Mas algumas fórmulas que vamos usar mais pra frente só estão definidas para partículas esféricas. E aí, como é que a gente faz quando a partícula não é esférica?
Existem fatores que medem o quão esféricas as partículas são, e nos ajudam a generalizar fórmulas que, a princípio, só poderiam ser aplicadas a esferas.
Vamos ver como é que isso funciona.
Fator de forma B
Esse fator de forma se relaciona com a área superficial da partícula. Acho que fica mais fácil de entender vendo a definição logo:
Para achar quem é o da sua partícula, tem que escrever a área superficial dela nesse formato de . vai ser justamente esse “algo” que, multiplicando o quadrado do diâmetro da partícula, nos dá a área superficial da dela.
Bora ver um exemplo:
Daí para a esfera, sacou?
Fator de forma C
É a mesma ideia do fator de forma , mas agora tem relação com o volume.
Vamos ver a esfera como exemplo novamente:
Daí, para a esfera, valeu?
Eu falo muito “daí” né? Haha E nem do Sul eu sou. Sou do Rio de Janeiro.
Circularidade ()
Às vezes, vai nos importar saber quão circular é uma partícula na sua condição de maior estabilidade (mesma ideia de quando vimos o . E pra isso temos a circularidade ( para nos ajudar:
Esse * é para lembrar que isso é medido na condição de maior estabilidade da partícula, que, na prática, vai ser pegar o maior perímetro, maior área projetada da partícula.
Olha um exemplo:
O perímetro, , que pegaríamos aqui seria:
Como para uma mesma área o círculo tem o menor perímetro, o denominador vai ser sempre menor que o numerador, e aí:
Com sendo a esfera, já que a área projetada de uma esfera é um círculo.
Outra coisa importante é que circularidade é adimensional, porque é a razão entre dois comprimentos, então cortamos as unidades.
Agora, bora pensar numa moeda.
A maior área projetada dela na condição de maior estabilidade é um círculo. Então a circularidade da moeda é , a mesma da esfera!!! O problema é que estamos medindo o quanto um objeto se assemelha a uma esfera por uma projeção 2D, enquanto a esfera é 3D!
Precisamos de uma análise em 3D.
Esfericidade ()
Para nos salvar, temos a esfericidade, que avalia o 3D da partícula. Essa é a parte mais importante desse tópico! Coloca uma estrelinha nele hahah.
Repara nesse “da esfera de mesmo volume que a partícula”: sentiu que vamos ter que calcular o ? E aí, depois, usamos esse para calcular a área superficial dessa esfera equivalente, para o numerador.
E como para conter um certo volume, a esfera é a forma que requer menor área superficial, o denominador vai ser sempre maior ou igual ao numerador. Tal que:
Com sendo a esfera.
Outra forma de calcular a esfericidade é através do e do da partícula, assim ó:
E ah! Uma coisa importante: como a esfericidade é uma razão entre áreas, cortamos as unidades e a esfericidade é adimensional.
Fator de forma C
Circularidade ( ϱ )
Esfericidade ( Φ )
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria
Calcule a esfericidade de um cubo.
Passo 1
Para não perder o hábito, bora fazer um esboço da geometria. Vou chamar a aresta do cubo de .
A definição de esfericidade é:
Daí, para o numerador, vamos ter que calcular o diâmetro da esfera de mesmo volume que o cubo (). E pra isso precisamos do volume do cubo, mas isso é moleza:
Depois vamos calcular a área superficial dessa esfera e aí temos o numerador, ok?
Para o denominador, vamos precisar da área superficial do cubo:
Passo 2
Primeiro, bora calcular o . Aplicando a definição:
Rearranjando:
Aplicando raiz cúbica dos dois lados:
Passo 3
A fórmula para área superficial de uma esfera qualquer é:
Então, a área superficial de uma esfera equivalente ( ) de diâmetro vale:
Passo 4
Já temos, lá do passo 1, a área superficial do cubo (). Daí, agora é só jogar tudo na definição de esfericidade:
Cortando o em cima e embaixo e jogando o resto na calculadora:
Lembrando que eu não me preocupei com unidades aqui porque esfericidade é um adimensional.
Passo 5
Lembra que a gente pode fazer esfericidade como o quadrado da razão entre e ?
Vamos testar isso aqui?
O já calculamos:
E o do cubo fica assim:
Igualando as duas superfícies:
E a esfericidade:
Corta esses e joga o resto na calculadora:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração própria
Calcule a circularidade e a esfericidade de um paralelepípedo retângulo de dimensões proporcionais a .
Passo 1
Bora fazer um rascunho da geometria. Eu vou considerar essas dimensões proporcionais a como sendo comprimento, altura e largura, mas a ordem não faz diferença na hora de resolver, ok?
O enunciado pede pra gente calcular a circularidade e a esfericidade dessa partícula. Vamos por partes:
Bora, primeiro, lembrar a fórmula de circularidade:
Esse * é para lembrar que isso é medido na condição de maior estabilidade da partícula, que, na prática, vai ser o maior perímetro da partícula. Daí, vamos ter que pegar o perímetro formado por comprimento e altura ( e ).
Para o numerador, vamos ter que:
- Calcular a área delimitada por esse retângulo vermelho
- Igualar essa área à fórmula da área do círculo () para achar o diâmetro desse círculo
- Usar esse diâmetro para calcular o perímetro desse círculo, que é o comprimento da circunferência ()
Depois é só calcular o perímetro desse retângulo vermelho e temos o denominador da circularidade também. Aí é só fazer a divisão entre numerador e denominador.
Já para a esfericidade:
Para o numerador, a gente calcula o e usa ele pra calcular a área superficial dessa esfera equivalente ().
Passo 2
Começando pela circularidade, bora calcular a área projetada na configuração de maior estabilidade da partícula, que é a área daquele retângulo vermelho:
Igualando essa área com a área do círculo:
Usando esse diâmetro para calcular o perímetro desse círculo:
A parte mais difícil já foi. Agora bora calcular o perímetro, , da partícula, que é o perímetro daquele retângulo vermelho:
Já temos numerador e denominador, bora calcular essa circularidade:
Passo 3
Bora, agora, calcular a esfericidade:
Já vimos lá no passo 1 que vamos precisar calcular o e, para isso, vamos precisar do volume da partícula, né?
Igualando à fórmula do volume da esfera, para achar o
Aplicando raiz cúbica dos dois lados:
Agora vamos usar esse para calcular a área superficial dessa esfera equivalente:
Agora precisamos da área superficial da nossa partícula. Repara que vai ser:
Agora é só substituir os valores que achamos na fórmula de esfericidade e ser feliz:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração própria
Calcule a circularidade e a esfericidade para um cilindro com altura igual ao dobro do diâmetro da base.
Passo 1
Essa questão é tipo um repeteco da 2, né? Só muda a geometria. Bora dar uma olhada:
O enunciado pede pra gente calcular a circularidade e a esfericidade dessa partícula. Vamos por partes:
Lembrando a fórmula de circularidade:
Esse * é para lembrar que isso é medido na condição de maior estabilidade da partícula, que, na prática, vai ser pegar o maior perímetro, maior área projetada da partícula. Olha só:
Essa figura tá em escala, daí, nem precisa fazer conta pra ver que a área da projeção lateral é maior do que a da projeção da base. Então, vamos trabalhar com a projeção lateral da partícula no que diz respeito à área e perímetro.
Para o numerador, vamos ter que:
- Calcular a área delimitada por esse retângulo vermelho
- Igualar essa área à fórmula da área do círculo () para achar o diâmetro desse círculo
- Usar esse diâmetro para calcular o perímetro desse círculo, que é o comprimento da circunferência ()
Depois é só calcular o perímetro desse retângulo vermelho e temos o denominador da circularidade também. Aí é só fazer a divisão entre numerador e denominador.
Já para a esfericidade:
Para o numerador, a gente calcula o e usa ele pra calcular a área superficial dessa esfera equivalente (). E pro denominador precisamos da área superficial da partícula em si.
Bora lá que fazendo juntos a gente aprende.
Passo 2
Começando pela circularidade, bora calcular a área projetada na configuração de maior estabilidade da partícula, que é a área daquele retângulo vermelho:
Igualando essa área com a área do círculo:
Usando esse diâmetro para calcular o perímetro desse círculo:
Agora bora calcular o maior perímetro, , da partícula, que é o perímetro daquele retângulo vermelho:
E já que temos numerador e denominador, bora calcular a circularidade:
Passo 3
Hora de calcular a esfericidade:
Já vimos lá no passo 1 que vamos precisar calcular o e, para isso, vamos precisar do volume da partícula, né?
Igualando à fórmula do volume da esfera, para achar o
Aplicando raiz cúbica dos dois lados:
Agora vamos usar esse para calcular a área superficial dessa esfera equivalente (), que vai ser:
Agora precisamos da área superficial da nossa partícula, que vai ser:
Sendo que:
Daí:
Agora é só substituir os valores que achamos na fórmula de esfericidade e ser feliz:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração própria
Calcule a esfericidade de uma casca cilíndrica cujas especificações são:
Passo 1
Bora dar uma olhada na geometria: casca cilíndrica é como se você tivesse um cilindro maciço e tirasse um cilindro de dentro dele. Aí ele fica com um buraco cilíndrico no meio dele.
Esse buraco vai de uma ponta até a outra. Aí a vista superior fica assim, olha:
O enunciado pediu a esfericidade ():
Para o numerador, a gente calcula o e usa ele pra calcular a área superficial dessa esfera equivalente ().
Para o denominador, precisamos da área superficial dessa casca cilíndrica, que é a soma da área lateral externa (), área lateral interna (), anel da base () e anel do topo ().
Passo 2
Precisamos do volume dessa casca cilíndrica:
Sendo que a área da base () é a área de um anel de raio externo e raio interno . Daí:
Substituindo os valores:
Calculando o volume da partícula ():
Igualando à fórmula do volume da esfera, para achar o
Aplicando raiz cúbica dos dois lados:
Agora vamos usar esse para calcular a área superficial dessa esfera equivalente (), que vai ser:
Passo 3
Para o denominador, precisamos da área superficial da partícula, então bora calcular!
Sendo que :
Daí:
Já calculamos . Falta e :
A área lateral externa é a área lateral de um cilindro: perímetro da base multiplicada pela altura. Como o perímetro da base é uma circunferência:
Já que e :
A área lateral interna é calculada de forma semelhante, já que a lateral interna também tem forma cilíndrica:
A altura é a mesma, , mas :
Daí:
Passo 4
Agora temos tudo pra calcular a esfericidade: