Peneiração

Não se assusta com essa tabela, que vamos ver com calma como trabalhar com ela! Mas, antes disso, precisamos definir o , que é a primeira coisa que o problema pede para calcular.

Portanto, calculando a massa total para cada amostra:

E, agora, podemos refazer nossa tabela incluindo o para cada amostra, dividindo a massa de cada par pela massa total:

Vou mostrar aqui um exemplo da primeira linha de como calculamos, caso você tenha ficado em dúvida:

Beleza! Já calculamos então a primeira informação que precisamos 😊

Agora, precisamos tentar entender qual moinho deixou a amostra com mais partículas entre 65 e 100, correto?

Para isso, só precisamos comparar o em cada um dos moinhos. Como foi especificado entre os pares 65 e 100, obtemos que:

Assim, o moinho A possui maior porcentagem de partículas (39,1%) nessa faixa de diâmetros.

Para calcular a curva de versus diâmetro, é necessário calcular através da seguinte fórmula:

E para calcular o diâmetro precisamos utilizar a Tabela de Mesh Tyler para cada peneira.

Depois de calcularmos essas duas coisas para cada ponto e para cada moinho, vamos traçar esses gráficos e realizar a comparação.

A fórmula do considera a massa total de cada amostra, que passou por cada moinho, certo? Então, calculando a massa total:

E, agora, podemos refazer nossa tabela incluindo o para cada amostra, dividindo a massa de cada par pela massa total:

Vou mostrar aqui um exemplo da primeira linha de como calculamos, caso você tenha ficado em dúvida:

Dica: Sempre que terminar de calcular as frações, verifica se o somatório está dando um!

Beleza! Já calculamos então a primeira informação que precisamos 😊

Agora, precisamos dos diâmetros! Para isso, precisamos achar o diâmetro da peneira que cada partícula passou ( ) e o diâmetro da peneira pela qual a partícula não passa ( ).

A Tabela Mesh Tyler é o local onde encontraremos a correlação entre o tamanho da peneira e o diâmetro.

E aí, conseguimos refazer a nossa tabela da seguinte forma:

Repara que lemos na terceira coluna da tabela mesh Tyler a abertura da peneira em (mm). E foi esse valor que usamos na nossa tabelinha da questão!

Chegamos na tabela e agora é só traçar o gráfico!!

Mas, pera, a questão não especificou qual diâmetro vamos usar! Então, traçamos os gráficos usando os dois diâmetros:

Aproveita e repara que as curvas tem o mesmo formato !! E elas sempre vão ter um formato bem parecidinho.

A questão está solicitando o diâmetro médio de peneiras que retiveram maior porcentual da amostra. Para fazer isso, a gente precisa determinar entre cada par de peneiras.

Lembrando que:

Depois que acharmos o maior , nós vamos determinar a média dos diâmetros daquele par de peneiras!

Primeira coisa então é calcular o em todos os pares de peneiras.

O maior foi , indicando que dos sólidos estão retidos entre aquelas peneiras.

O maior está entre as peneiras 42 e 60 Mesh Tyler. E essas peneiras tem os seguintes dados

Olhando a Tabela dessa série de peneiras, observamos que :

A média desses dois valores pode ser calculado por:

Portanto, esse é o diâmetro médio das peneiras que possui o maior porcentual da amostra.

Primeiro vamos relembrar as fórmulas do que a questão pede:

é a “frequência” de partículas com aquele diâmetro em relação ao todo. Ou seja, percentual (%) de massa que ficou retido entre aquele par de peneiras.

representa os valores menores que um dado diâmetro. Ou seja, % da amostra que é menor que certo diâmetro.

representa os valores maiores que dado diâmetro. Ou seja, % da amostra que é maior que certo diâmetro.

A primeira conta é o cálculo da massa total da amostra.

Agora, basta dividirmos a passa entre cada par de peneiras pela massa total:

A partir do , pode ser calculado o :

Para o cálculo do do primeiro par de peneiras, fazemos assim:

Pro segundo, foi assim:

E, por aí vai...

Então, para o , pode-se dizer que 88,6% da amostra é menor que o diâmetro do mesh 32, porque não ficou retido nessa peneira.

Agora, partimos para o cálculo do , usamos a seguinte fórmula:

Para a primeira linha, podemos fazer assim

Então, da amostra é maior que o diâmetro da peneira de mesh 24, beleza?

Fazendo para todas as linhas, obtemos a seguinte tabela:

Vamos começar entendendo o que significa aquele esquema ali:

Aquela seta lááá em cima, é a areia entrando pra separação por peneiras. Aí ela cai em uma peneira de 24 Mesh. Tá vendo que tem uma parte que segue pra baixo e outra (A) que sai pelo lado? A fração A tem diâmetro maior do que o da peneira 24 Mesh, então não conseguiu passar por ela. Já os grãozinhos menores de areia, passaram pelo Mesh 24 e agora vão passar por uma segunda peneira, de Mesh 80. Mais uma vez, uma parte passa pela peneira (corrente C, formada pelos menores grãozinhos), enquanto uma outra parte fica retira, formando a corrente B.

Então os grãozinhos da corrente A são maiores que os grãozinhos da corrente B que são maiores que os grãozinhos da corrente C.

E repara que ali na tabela a gente tem muito mais peneiras. Isso porque alguém pegou uma amostra dessa areia, levou para o laboratório e fez um teste com uma cacetada de peneiras pra fazer aquela tabela com a distribuição de tamanhos, que a gente vai utilizar aqui, ok?

Agora que entendemos o problema, vamos começar a brincadeira.

Para esse tipo de problema, nem precisamos dos diâmetros; só com essa designação já dá pra resolver, porque não estamos interessados em tamanhos e sim nas frações dessas que vão para A, B e C.

Opa! Falamos em frações? Bora calcular os porque vamos precisar haha

Calculando :

Daí, para o primeiro intervalo (), por exemplo:

Agora repara que tudo que tiver ou menor (o que significa que a partícula é maior, já que é o número de aberturas por polegada linear), ficará retido na primeira peneira e, aí, irá para a corrente . O que for maior que (ou seja, partículas menores), passará por essa primeira peneira (simbolizado por ). Vou destacar, em azul, na tabela, a parte que corresponde à corrente .

O que passa pela peneira de (simbolizado por ) mas fica retido na peneira de (simbolizado por ), vai para a corrente . Vou destacar, na tabela, em verde, a parte correspondente a corrente :

Por fim, o que passa pela peneira de vai para a corrente . Vou representar em vermelho.

Já dividimos a tabela e sabemos quais frações vão para quais correntes. Agora é só somar as frações parciais para achar a fração total de cada corrente e multiplicar pela vazão, que é . Assim, olha:

Daí a vazão da corrente , que vou chamar de , vai ser:

Da mesma forma:

Quanto a :

Só pra confirmar podemos verificar que a soma dessas correntes dá mesmo as 100 toneladas por dia:

Essa questão é praticamente um balanço de massa, mas envolve conceitos de peneiração também. Bora entender melhor o esquema:

Tem uma corrente que passa por uma peneira de abertura ; parte dessa corrente consegue passar pela peneira dando origem a corrente “”, ou seja, possui diâmetro menor que . O que não passa pela peneira vai para um britador que transforma da corrente que ele recebe em um material abaixo de 12,7 mm, ou seja, da corrente que chega no britador vai conseguir passar pela peneira quando passar pela segunda vez.

O problema também dá, como dado, uma tabela com diâmetros e porcentagem passante (que é a mesma ideia do ) REFERENTE À CORRENTE ! Por exemplo, da corrente passa por uma peneira com abertura de (que é justamente o que nos interessa nesse problema haha.

Concorda comigo que a corrente é a soma das correntes e ? Sabemos que a corrente tem uma vazão de mas não sabemos nada sobre a vazão da ainda, então, bora dizer que tem uma vazão .

Dessa forma, a vazão de vai ser:

Isso que acabamos de fazer foi um balanço de massa para Mas, agora, vamos considerar apenas a fração menor que . Vou colocar um junto ao nome da corrente quanto estiver me referindo a massa dessa corrente menor que .

Quanto a , que é a corrente que sai do britador, nos foi informado que dela tem diâmetro menor que . Daí:

Daí o balanço de massa para partículas abaixo de na corrente fica:

Mas repara que a corrente é a parte da corrente que passa pela peneira, que é justamente (a corrente possui de partículas abaixo de ). Daí podemos igualar essas duas correntes:

Calculando :

E substituindo isso no balanço de massa da corrente :