Fórmula da Porosidade

O enunciado conta uma historinha sobre uma aplicação de filtro prensa, mas o que nos interessa é que temos uma torta com as seguintes características:

Repara que eu passei a porosidade para base unitária logo, porque é assim que tem que tá na hora de fazer conta e jogar em fórmulas.

Foi pedido o volume de solvente, que é o nosso fluido, retido na torta. Daí, é só lembrar da fórmula de porosidade:

E lembra que lá na teoria eu disse que o fluido que ocupa os “vazios”? Então:

Show, agora é só fazer conta:

Substituindo os valores que temos:

Fechou.

Bora lá! Queremos a massa de areia dentro de um filtro com as seguintes dimensões:

Aparentemente é um cilindro.

Temos a densidade da areia, que vale:

Como a definição de densidade é:

Se tivermos o volume de areia (), conseguimos achar a massa, .

Temos a porosidade do leito:

Passando pra base unitária:

Onde, por definição, a porosidade é:

Já que temos as dimensões do filtro, podemos calcular o volume total e aí dá pra calcular o volume de vazio. Depois, por diferença, conseguimos calcular o volume de “cheio”, que é o volume de areia, né?

Vamos precisar do volume do filtro, que é o volume total:

Substituindo os valores:

Sabendo o volume total, podemos usar a porosidade para descobrir o volume de vazio:

Daí, multiplicando:

Agora, pra o volume de areia, pensa comigo: o é e, desse total, é .Daí, se fizermos a diferença entre esses dois, achamos o volume de “cheio”, que é o volume de areia:

E como esse “cheio” é areia, que é nossa partícula, vou colocar naquela nossa notação:

Só falta agora calcular a massa de areia. Temos a densidade e o volume de areia, massss a unidade do volume que temos não é a mesma unidade de volume que aparece na densidade! Precisamos adequar isso.

Vou passar o volume que temos para e aí já vamos poder calcular a massa:

Daí:

Só uma coisinha: caso você não esteja familiarizado com conversão de unidades desse jeito que fiz aí em cima, faz do seu jeito, tá? Não se liga nisso não. Mas de qualquer maneira, esse jeito que fiz é como se você estivesse multiplicando por , porque em cima e embaixo tá a mesma coisa, mas em unidades diferentes.

Mas ok. Agora que estamos de boas com unidades, bora calcular logo essa massa:

Vou passar pra por que eu curto o Sistema Internacional haha

Daí:

Temos um leito fluidizado com as seguintes dimensões:

O enunciado diz que tem de catalisador, que são as nossas partículas, nesse leito. A densidade das partículas é dada:

No resto do volume do leito vai ter fluido. Esse fluido está preenchendo o volume de “vazio”, que é onde não tem partículas.

O exercício pede pra calcular a porosidade (), então bora lembrar a fórmula dela:

Bora calcular esse volume total () logo:

Como tanto como estão em , a unidade do volume vai ser :

Já resolvemos o termo do denominador da porosidade. Falta agora o numerador: “volume de vazio”.

Mas olha só: o volume de vazio é a parte do volume total em que NÃO tem partículas, certo? Então, escrevendo isso:

Lembra que esse subscrito “” no é como eu estou indicando que estamos falando de partículas.

Daí, posso reescrever a fórmula de porosidade:

Repara que já fizemos coisa parecida em exercícios anteriores, mas neles eu calculei o volume de vazio separado e depois que joguei na fórmula. Aqui, eu já estou jogando o cálculo do dentro da fórmula de porosidade. Mas dá no mesmo.

Tá, já temos o então só falta o para acharmos a porosidade. Mas temos a massa de partículas ( e a densidade delas (), daí calculamos o :

Rearranjando:

Agora muita calma nessa hora, padawan! Repara que a massa de partículas () que temos está em , mas a unidade de massa da densidade está em . Precisamos escolher uma das duas para converter e eu vou escolher não o Pikachu, mas sim o .

Convertendo o :

Cortando os “” e colocando em notação científica:

Agora, com unidades compatíveis, podemos calcular o :

Daí:

Agora é só substituir tudo na fórmula de porosidade que achamos:

Os nossos volumes estão na mesma unidade, , então não precisamos converter nada:

ou

Estrelinha nesse exercício, ok?

Bora lá. Sabemos que a razão entre massa de torta seca () e massa de torta úmida () vale :

Ele deu também , que é a densidade das partículas, e , que é a densidade do fluido em que as partículas sendo filtradas estão.

Nesse exercício, o fluido é água e, por isso, o enunciado fala em “úmida”, mas essa ideia de resolução que vamos usar serve pra qualquer que seja o fluido.

O enunciado pede pra gente calcular a porosidade, então bora relembrar a fórmula:

Imagina uma torta úmida lá: tem partículas e água. Aí você vai e tira a água. Então sobram só as partículas, ou seja, a torta seca! A massa de partículas é constante.

O que quero dizer com isso é que:

E como nosso fluido aqui é água, dá no mesmo falar:

Vamos substituir isso naquela razão que o enunciado deu:

Multiplicando em X:

Jogando esse para esquerda:

Bora só dividir tudo por para deixar esse coeficiente do igual a . Isso vai facilitar depois e também deixa a relação mais bonita, né não? haha

Ok. Guarda essa informação aí porque, daqui a pouco, vamos precisar dela.

Vamos lembrar a definição de porosidade ():

Agora, concorda comigo que o volume total é o volume da torta úmida ()? Esse é o maior volume, já que tem as partículas e a água, né?

E o volume de vazio é o volume que a água ocupa (), que não tem partículas.

Bora escrever isso:

Mas já concordamos que na torta úmida tem partículas e água. Então, parte do é um volume de partículas e outra parte é um volume de água. Esse volume de água é o mesmo do numerador, já que estamos falando da mesma água. E esse volume de partículas secas, é o volume de torta seca.

Bora escrever isso também:

O mais difícil já foi, mas repara que não temos informações sobre volumes. Massssssssss, olha só a definição de densidade:

Rearranjando:

Daí, para a água e para partículas, vamos ter, respectivamente:

Mas na torta seca só tem partículas, então, ao invés do subscrito “”, posso usar o subscrito “”.

Substituindo isso na fórmula da porosidade que já chegamos:

E agora bora substituir aquela relação que achamos entre e :

Repara que podemos cortar todos esses “:

Substituindo os valores de densidade dados:

Essa questão é parecida com a 4, que acabamos de ver: fala de massa úmida e massa seca. A diferença é que, na 4, o enunciado dava a razão entre as duas massas e aqui ele dá as massas direto.

Acaba que essa daqui é até mais de boas de resolver. Quando tínhamos a razão entre as massas, manipulávamos para saber uma relação entre a massa de água e a massa de partículas para conseguir calcular a porosidade. Mas, aqui, é só subtrair a massa úmida da massa seca e achamos a massa de água.

Bora lá. Temos:

Isso que ele fala de “seca até peso constante” é pra dizer que toda água já evaporou e, como as partículas não evaporam na temperatura de secagem, o peso não muda mais.

Como:

E lembrando que , já que na torta seca só tem partículas:

Conseguimos, daí, tirar a massa de água.

O enunciado pede pra gente calcular a porosidade. Relembrando a fórmula:

E, para relacionar massas e volumes, temos as densidades:

Bora primeiro calcular logo essa massa de água:

Substituindo os valores que ele deu:

Daí, agora temos tanto a massa de partículas () como a massa de água ().

Dando uma olhada na fórmula de porosidade:

Em que o volume de vazio é o volume ocupado por fluido, que no caso é a água, e o volume total é o volume de fluido mais o volume de partículas. Escrevendo isso:

Daí, bora transformar essas massas que temos em volume, usando a densidade.

Para as partículas:

Temos que . Daí:

Para a água:

Temos :

Agora é só substituir esses valores na fórmula de porosidade: