Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação

Produzido por Jorge Alberto Nascimento
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Teoria

Introdução

Imagina que temos a seguinte situação:

Em uma empresa, um grupo de 5 funcionários se candidataram para as vagas de Diretor, Gerente Geral e Secretário Executivo. De quantas maneiras podemos preencher essas 3 vagas?

Para resolver esse problema utilizaremos a ideia de Arranjo!! Vamos ver com calma como funciona, beleza?!

Arranjo

Vamos ver então como funciona essa parada de Arranjo!

Para resolver o problema acima vamos representar as vagas desse modo:

Temos 5 pessoas que se candidataram a todas as três vagas. Para começar a ocupar as vagas, temos que começar escolhendo um dos funcionários para ocupar algum dos cargos, nesse caso vamos começar pelo cargo de diretor:

Restaram então 4 pessoas para ocupar os cargos restantes, logo temos 4 opções para a vaga de Gerente real, visto que uma pessoa já foi escolhida para ser o diretor:

Sobram então tres opções de funcionários que concorrem pela vaga de Secretário:

Cada escolha que fazemos gera várias possibilidades de ordens diferentes. Para contabilizar todos precisamos multiplicar cada escolha pelo número de possibilidades, ou seja PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO!

Então temos

5   x   4   x   3 = 60   p o s s i b i l i d a d e s  

Ao pensarmos desse jeito já estamos considerando a permutação desses funcionários nos diferentes casos. Por exemplo:

Imagina que Joana, Laura e Bruna são três das 5 funcionárias que estão se candidatando para a empresa. Note que:

Isso acontece porque nesse caso, estamos levando em consideração a ordem das vagas oferecidas. Quando realizamos esse tipo de raciocínio, estamos fazendo um ARRANJO.

Mas como escrever isso para um caso geral?

Note que o método para calcular arranjos é muito parecido com o método para calcular permutações. A diferença que ao invés de permutar n elementos completamente, só precisamos fazer as contas de acordo com o número k de escolhas.

Logo precisamos dividir a permutação de n elementos por n - k !

A n k = n ! n - k !

Essa é a fórmula geral para calcular arranjos, porém se preferir resolver seguindo os passos do exemplo não há problema, vai dar o mesmo resultado!

Vamos ver outro exemplo?

Exemplo

Em uma corrida há 10 atletas. De quantas maneiras diferentes podemos montar o pódio?

Nesse caso precisamos levar em consideração a ordem do 1°, 2° e 3° lugar, concorda?! Digamos que Pedro, Maria e João tenham sido os 3 primeiros colocados, respectivamente:

1 °   L u g a r → P e d r o

2 °   L u g a r → M a r i a

3 °   L u g a r → J o ã o

Isso é diferente se a ordem de chegada fosse:

1 °   L u g a r → J o ã o

2 °   L u g a r → P e d r o

3 °   L u g a r → M a r i a

Beleza?! Nesse cenário a ordem importa!!!

Então, temos que aplicar a fórmula do arranjo:

A 10 3 = 10 ! 10 - 3 ! = 10 × 9 × 8 × 7 ! 7 ! = 10 × 9 × 8 = 720   p o s s i b i l i d a d e s

Tudo bem até aqui?

Combinação

Vamos estudar outra situação:

Em uma empresa, um grupo de 5 funcionários se candidataram para as 3 vagas de Diretor. De quantas maneiras podemos preencher essas 3 vagas?

A princípio pode parecer o mesmo problema anterior, certo? Mas veremos que existem algumas diferenças bem importantes! Temos 3 vagas, e 5 funcionários se candidatando porém, nesse caso, todas as vagas têm o mesmo cargo.

Para resolver esse problema precisamos simplesmente escolher 3 pessoas de um grupo de 5 para preencher as vagas. Para entender melhor a diferença imagina se Joana, Laura e Bruna são escolhidas novamente:

Isso acontece porque a ordem de escolhas não faz diferença! Se a Joana for escolhida primeiro e a Laura e Bruna em seguida, no final as três ainda serão diretoras.

Quando aplicamos esse tipo de raciocínio, estamos fazendo uma COMBINAÇÃO.

Ok, mas como calculamos isso?

Ao compararmos com o arranjo, percebemos que se quisermos escolher três pessoas para preencher essas vagas temos que tirar essas repetições que acontecem por conta da ordem não importar. No caso da Joana, Laura e Bruna, se permutarmos as três funcionárias teremos o número de repetições!

Logo, para descobrir de quantas maneiras podemos preencher essas 3 vagas, precisamos dividir a fórmula do arranjo por 3 !

Para descobrir a combinação C 5 3 (Combinação de 3 elementos de 5) precisamos:

C 5 3 = 5 ! 3 ! × 5 - 3 !

Lembre-se: Em combinação não importa a ordem!

Vamos para mais um exemplo rápido?

Para calcular de quantas maneiras podemos escolher cinco livros de um total de dez, faremos?

Nesse caso a ordem não importa! Então:

C 10 5 = 10 ! 5 ! 10 - 5 ! = 10 ! 5 ! 5 ! = 10.9 . 8.7 . 6 5.4 . 3.2 . 1 = 2.3 . 2.7 . 3 = 252

Tudo bem?

E como juntamos tudo isso que estamos vendo com o Cálculo de Probabilidades?

O cálculo dos Arranjos e Combinações que estamos vendo aqui são para saber a quantidade de eventos possíveis de um espaço amostral. Dessa forma, se tivermos algum caso de Cálculo de Probabilidades com Arranjo ou Combinação, basta utilizar a fórmula abaixo:

P A = # A # Ω

Onde o numerador é a quantidade de eventos possíveis (arranjos ou combinações calculadas) e o denominador o espaço amostral. Show de bola?!

Agora vamos praticar!

Exemplo

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