Cálculo de Probabilidades - Arranjo & Combinação
Produzido por Jorge Alberto NascimentoTeoria
Introdução
Imagina que temos a seguinte situação:
Em uma empresa, um grupo de 5 funcionários se candidataram para as vagas de Diretor, Gerente Geral e Secretário Executivo. De quantas maneiras podemos preencher essas 3 vagas?
Para resolver esse problema utilizaremos a ideia de Arranjo!! Vamos ver com calma como funciona, beleza?!
Arranjo
Vamos ver então como funciona essa parada de Arranjo!
Para resolver o problema acima vamos representar as vagas desse modo:
Temos 5 pessoas que se candidataram a todas as três vagas. Para começar a ocupar as vagas, temos que começar escolhendo um dos funcionários para ocupar algum dos cargos, nesse caso vamos começar pelo cargo de diretor:
Restaram então 4 pessoas para ocupar os cargos restantes, logo temos 4 opções para a vaga de Gerente real, visto que uma pessoa já foi escolhida para ser o diretor:
Sobram então tres opções de funcionários que concorrem pela vaga de Secretário:
Cada escolha que fazemos gera várias possibilidades de ordens diferentes. Para contabilizar todos precisamos multiplicar cada escolha pelo número de possibilidades, ou seja PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO!
Então temos
Ao pensarmos desse jeito já estamos considerando a permutação desses funcionários nos diferentes casos. Por exemplo:
Imagina que Joana, Laura e Bruna são três das 5 funcionárias que estão se candidatando para a empresa. Note que:
Isso acontece porque nesse caso, estamos levando em consideração a ordem das vagas oferecidas. Quando realizamos esse tipo de raciocínio, estamos fazendo um ARRANJO.
Mas como escrever isso para um caso geral?
Note que o método para calcular arranjos é muito parecido com o método para calcular permutações. A diferença que ao invés de permutar elementos completamente, só precisamos fazer as contas de acordo com o número de escolhas.
Logo precisamos dividir a permutação de elementos por
Essa é a fórmula geral para calcular arranjos, porém se preferir resolver seguindo os passos do exemplo não há problema, vai dar o mesmo resultado!
Vamos ver outro exemplo?
Exemplo
Em uma corrida há 10 atletas. De quantas maneiras diferentes podemos montar o pódio?
Nesse caso precisamos levar em consideração a ordem do 1°, 2° e 3° lugar, concorda?! Digamos que Pedro, Maria e João tenham sido os 3 primeiros colocados, respectivamente:
Isso é diferente se a ordem de chegada fosse:
Beleza?! Nesse cenário a ordem importa!!!
Então, temos que aplicar a fórmula do arranjo:
Tudo bem até aqui?
Combinação
Vamos estudar outra situação:
Em uma empresa, um grupo de 5 funcionários se candidataram para as 3 vagas de Diretor. De quantas maneiras podemos preencher essas 3 vagas?
A princípio pode parecer o mesmo problema anterior, certo? Mas veremos que existem algumas diferenças bem importantes! Temos 3 vagas, e 5 funcionários se candidatando porém, nesse caso, todas as vagas têm o mesmo cargo.
Para resolver esse problema precisamos simplesmente escolher 3 pessoas de um grupo de 5 para preencher as vagas. Para entender melhor a diferença imagina se Joana, Laura e Bruna são escolhidas novamente:
Isso acontece porque a ordem de escolhas não faz diferença! Se a Joana for escolhida primeiro e a Laura e Bruna em seguida, no final as três ainda serão diretoras.
Quando aplicamos esse tipo de raciocínio, estamos fazendo uma COMBINAÇÃO.
Ok, mas como calculamos isso?
Ao compararmos com o arranjo, percebemos que se quisermos escolher três pessoas para preencher essas vagas temos que tirar essas repetições que acontecem por conta da ordem não importar. No caso da Joana, Laura e Bruna, se permutarmos as três funcionárias teremos o número de repetições!
Logo, para descobrir de quantas maneiras podemos preencher essas 3 vagas, precisamos dividir a fórmula do arranjo por
Para descobrir a combinação (Combinação de 3 elementos de 5) precisamos:
Lembre-se: Em combinação não importa a ordem!
Vamos para mais um exemplo rápido?
Para calcular de quantas maneiras podemos escolher cinco livros de um total de dez, faremos?
Nesse caso a ordem não importa! Então:
Tudo bem?
E como juntamos tudo isso que estamos vendo com o Cálculo de Probabilidades?
O cálculo dos Arranjos e Combinações que estamos vendo aqui são para saber a quantidade de eventos possíveis de um espaço amostral. Dessa forma, se tivermos algum caso de Cálculo de Probabilidades com Arranjo ou Combinação, basta utilizar a fórmula abaixo:
Onde o numerador é a quantidade de eventos possíveis (arranjos ou combinações calculadas) e o denominador o espaço amostral. Show de bola?!
Agora vamos praticar!