Intervalo de Confiança para Variância Populacional

Produzido por Jorge Alberto Nascimento
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Teoria

IC para Variância Populacional

Tá, já vimos intervalo de confiança para média populacional, proporção populacional...

Aí você ficou empolgado, achando que tinha acabado... sqn! Haha

Faltou adivinhem ? Intervalo de confiança para a variância populacional ( σ 2 ) .

Vai parecer meio complicado, mas não se assustem, vai dar tudo certo!

Bom...

Algo lógico: se a gente tá procurando um intervalo de confiança para a variância é porque a gente não conhece o valor exato dela ( σ 2 ) , concorda? Beleza.

Então vamos tentar achar uma relação entre σ ² e sua estimativa amostral s ² .

A gente sabe que:

s 2 = ∑ x i - x ¯ 2 n - 1

Continuando... divido tudo por σ ² :

s 2 σ 2 = ∑ x i - x ¯ 2 n - 1 σ 2 = ∑ x i - x ¯ 2 n - 1 . σ ²

Até aí foi?

Agora vem o pulo do gato, uma novidade que você vai adorar, ou não.

Vamos dizer que:

∑ x i - x ¯ 2 σ ²     ~     χ n - 1 2

Substituindo no início, descobrimos que:

s 2 σ 2 = 1 n - 1 . χ n - 1 2  

Ou..

χ n - 1 2 = s 2 n - 1 σ 2

WTF?

Vamos falar agora melhor sobre essa novidade aí.

Qui-Quadrado

A novidade que apareceu ali é uma nova distribuição (como a Normal e a T de Student) que vai ajudar a gente a fazer nosso intervalo de confiança.

χ ² → d i s t r i b u i ç ã o   Q u i - Q u a d r a d o

Mais uma distribuição, mais uma tabelinha... Distribuição Q u i - Q u a d r a d o . “Qui” é o nome dessa letra aí → χ , só por curiosidade mesmo.

Calma jovem, as coisas vão ficar mais humanas, sem desesperos. No final, é tudo continha.

Vou te ensinar primeiro como usar a tabela Q u i - Q u a d r a d o .

Os parâmetros que a gente vai precisar são:

υ = n °   g r a u s   d e   l i b e r d a d e = n - 1

E valores de p pra acharmos χ p na tabela.

Mesma coisa que t   d e   s t u d e n t .

A diferença é que se antes era comum procurarmos por valores de 1 - α 2 , agora além de um χ n - 1 ,     1 - α 2 2 , iremos procurar também por χ n - 1 , α 2 2 .

Você vai entender melhor já já!

Podemos representar assim também oh:

χ n - 1 , α 2 2           →           1 ° : g r a u   d e   l i b e r d a d e - 2 ° : v a l o r   d e   p

Testando...

  • Achar o valor de χ 10,0 , 995 2

Cruzando a linha 10 com a coluna 0,995     → χ 10,0 , 995 2 = 25,188 .

Foi ?

O Intervalo de Confiança

Tá, agora vamos transformar tudo isso que eu disse em algo mais prático, que é o que interessa de verdade.

Para o caso do I C para a média a gente tinha...

P L i n f ≤ μ ≤ L s u p = 1 - α

Lembra?

Nada mudou..

Atualizando isso para o caso da variância, usando nosso novo amigo Q u i - Q u a d r a d o .

P χ i n f 2 ≤ χ 2 ≤ χ s u p 2 = 1 - α

Agora vem uma última novidade, esses valores inferior e superior são definidos como:

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1 , 1 - α 2 2

Lembra que eu disse que a gente ia precisar do α 2 e do 1 - α 2 ?

Anota na testa! Hehe..

Voltando....

P χ i n f 2 ≤ χ 2 ≤ χ s u p 2 = 1 - α

A gente sabe que:

χ n - 1 2 = s 2 n - 1 σ 2

Substituindo:

P χ i n f 2 ≤ s 2 n - 1 σ 2 ≤ χ s u p 2 = 1 - α

Mas eu quero um intervalo para a σ ² . Posso inverter tudo então, você deixa? Beleza...

P 1 χ s u p 2 ≤ σ ² s 2 n - 1 ≤ 1 χ i n f 2 = 1 - α

Estamos quase lá... multiplico geral por s ² ( n - 1 ) :

P s ² ( n - 1 ) χ s u p 2 ≤ σ ² ≤ s ² ( n - 1 ) χ i n f 2 = 1 - α

Fim!

Nosso intervalo de confiança para a variância com 1 - α % de confiança será:

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

E se você quiser fazer algo com relação ao desvio padrão ( σ ) , de boas, só tirar raiz quadrada de geral.

Vlw, flws..

Vamos de exercícios agora.

Qui-Quadrado

O Intervalo de Confiança

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