Intervalo de Confiança para Variância Populacional

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Teoria

IC para Variância Populacional

Tá, já vimos intervalo de confiança para média populacional, proporção populacional...

Aí você ficou empolgado, achando que tinha acabado... sqn! Haha

Faltou adivinhem ? Intervalo de confiança para a variância populacional ( σ 2 ) .

Vai parecer meio complicado, mas não se assustem, vai dar tudo certo!

Bom...

Algo lógico: se a gente tá procurando um intervalo de confiança para a variância é porque a gente não conhece o valor exato dela ( σ 2 ) , concorda? Beleza.

Então vamos tentar achar uma relação entre σ ² e sua estimativa amostral s ² .

A gente sabe que:

s 2 = ∑ x i - x ¯ 2 n - 1

Continuando... divido tudo por σ ² :

s 2 σ 2 = ∑ x i - x ¯ 2 n - 1 σ 2 = ∑ x i - x ¯ 2 n - 1 . σ ²

Até aí foi?

Agora vem o pulo do gato, uma novidade que você vai adorar, ou não.

Vamos dizer que:

∑ x i - x ¯ 2 σ ²     ~     χ n - 1 2

Substituindo no início, descobrimos que:

s 2 σ 2 = 1 n - 1 . χ n - 1 2  

Ou..

χ n - 1 2 = s 2 n - 1 σ 2

WTF?

Vamos falar agora melhor sobre essa novidade aí.

Qui-Quadrado

A novidade que apareceu ali é uma nova distribuição (como a Normal e a T de Student) que vai ajudar a gente a fazer nosso intervalo de confiança.

χ ² → d i s t r i b u i ç ã o   Q u i - Q u a d r a d o

Mais uma distribuição, mais uma tabelinha... Distribuição Q u i - Q u a d r a d o . “Qui” é o nome dessa letra aí → χ , só por curiosidade mesmo.

Calma jovem, as coisas vão ficar mais humanas, sem desesperos. No final, é tudo continha.

Vou te ensinar primeiro como usar a tabela Q u i - Q u a d r a d o .

Os parâmetros que a gente vai precisar são:

υ = n °   g r a u s   d e   l i b e r d a d e = n - 1

E valores de p pra acharmos χ p na tabela.

Mesma coisa que t   d e   s t u d e n t .

A diferença é que se antes era comum procurarmos por valores de 1 - α 2 , agora além de um χ n - 1 ,     1 - α 2 2 , iremos procurar também por χ n - 1 , α 2 2 .

Você vai entender melhor já já!

Podemos representar assim também oh:

χ n - 1 , α 2 2           →           1 ° : g r a u   d e   l i b e r d a d e - 2 ° : v a l o r   d e   p

Testando...

  • Achar o valor de χ 10,0 , 995 2

Cruzando a linha 10 com a coluna 0,995     → χ 10,0 , 995 2 = 25,188 .

Foi ?

O Intervalo de Confiança

Tá, agora vamos transformar tudo isso que eu disse em algo mais prático, que é o que interessa de verdade.

Para o caso do I C para a média a gente tinha...

P L i n f ≤ μ ≤ L s u p = 1 - α

Lembra?

Nada mudou..

Atualizando isso para o caso da variância, usando nosso novo amigo Q u i - Q u a d r a d o .

P χ i n f 2 ≤ χ 2 ≤ χ s u p 2 = 1 - α

Agora vem uma última novidade, esses valores inferior e superior são definidos como:

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1 , 1 - α 2 2

Lembra que eu disse que a gente ia precisar do α 2 e do 1 - α 2 ?

Anota na testa! Hehe..

Voltando....

P χ i n f 2 ≤ χ 2 ≤ χ s u p 2 = 1 - α

A gente sabe que:

χ n - 1 2 = s 2 n - 1 σ 2

Substituindo:

P χ i n f 2 ≤ s 2 n - 1 σ 2 ≤ χ s u p 2 = 1 - α

Mas eu quero um intervalo para a σ ² . Posso inverter tudo então, você deixa? Beleza...

P 1 χ s u p 2 ≤ σ ² s 2 n - 1 ≤ 1 χ i n f 2 = 1 - α

Estamos quase lá... multiplico geral por s ² ( n - 1 ) :

P s ² ( n - 1 ) χ s u p 2 ≤ σ ² ≤ s ² ( n - 1 ) χ i n f 2 = 1 - α

Fim!

Nosso intervalo de confiança para a variância com 1 - α % de confiança será:

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

E se você quiser fazer algo com relação ao desvio padrão ( σ ) , de boas, só tirar raiz quadrada de geral.

Vlw, flws..

Vamos de exercícios agora.

Qui-Quadrado

O Intervalo de Confiança

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma fábrica de alimentos comercializa sacos de feijão para pequenos supermercados. Toma-se uma amostra com 30 sacos de feijão de uma determinada população, com média igual a 50 k g e variância igual 12 k g ² .

  1. O intervalo de confiança de 95 % e 99 % para a variância da normal desta população.

Passo 1

A gente tem os dados da amostra:

n = 30

s ² = 12

E vamos montar dois intervalos de confiança para a variância populacional, σ ² .

Esses dois intervalos são feitos da mesma maneira, tem a mesma cara... que é:

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

Aí esses valores de baixo são os que a gente pega na tabela Q u i   Q u a d r a d o .

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1,1 - α 2 2

E são eles que vão mudar em cada intervalo, porque dependem do α .

Passo 2

Quem é α ? Quando o intervalo é de 99 % ...

1 - α = 0,99 → α = 0,01

Aí a gente precisa do α 2 e do 1 - α 2 .

α 2 = 0,005       e       1 - α 2 = 0,995

O número de graus de liberdade é n - 1 → 30 - 1 = 29

Podemos procurar na tabela já... cruzando a linha do 29 com as duas colunas certas.. a gente tem:

χ i n f 2 = 13,121

χ s u p 2 = 52,336

Passo 3

Agora é só jogar na fórmula do intervalo, já temos tudo!

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

I C = 12 × 29 52,336     , 12 × 29 13,121

I C = 6,65   ; 26,52

Passo 4

Se o intervalo é de 95 % ...

1 - α = 0,95 → α = 0,05

Aí a gente precisa do α 2 e do 1 - α 2 .

α 2 = 0,025       e       1 - α 2 = 0,975

O número de graus de liberdade é n - 1 → 30 - 1 = 29

Podemos procurar na tabela já... cruzando a linha do 29 com as duas colunas certas.. a gente tem:

χ i n f 2 = 16,047

χ s u p 2 = 45,772

Passo 5

Só jogar na fórmula de novo

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

I C = 12 × 29 45,772     , 12 × 29 16,047

I C = 7,60   ; 21,69

Resposta

a   I C = 6,65   ; 26,52   e   I C = 7,60   ; 21,69

Exercício Resolvido #2

Seja X uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média " μ " e variância " σ ² " , ambas desconhecidas.

Seja X = ( 3 ,   7 ,   2 ,   4 ,   4 ,   9 ,   6 ,   8 ,   5 ,   2 ) , uma amostra aleatória de tamanho 10 desta população:

Pede-se:

b) O intervalo de confiança ao nível de confiança de 90 % , para " σ ² " .

Passo 1

(b)

Agora partiu fazer um intervalo de confiança para a variância.

A gente sabe que o intervalo de confiança nesses casos tem a seguinte cara:

I C = s 2 n - 1 χ i n f 2 , s 2 n - 1 χ s u p 2

E que:

χ i n f 2 = χ n - 1,1 - α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1 , α 2 2

É só a gente calcular cada parte.

Sabendo que n - 1 = 9 e 1 - α 2 = 0,95 ,   s 2 = 6 , α 2 = 0,05 .

Passo 2

χ i n f 2 = χ n - 1,1 - α 2 2

= χ 9 ; 0,95 2

= 16,92

χ s u p 2 = χ n - 1 , α 2 2

= χ 9 ; 0,05 2

= 3,33

Passo 3

Agora só completar o I C .

I C = 6 × 9 16,92   ; 6 × 9 3,33

I C = ( 3,19   ; 16,22 )

Resposta

b   I C = ( 3,19   ; 16,22 )

Exercício Resolvido #3

Seja " X " uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média " μ " e variância " σ ² " , ambas desconhecidas. Toma-se um amostra de tamanho " n " igual a 30 de uma determinada população, com média igual a 30 e variância igual a 25 .

Pede-se:

  1. O intervalo de confiança de 99 % para a variância da normal desta população.

Passo 1

(a)

A gente não conhece os parâmetros da normal da população, e vamos estimar eles usando os dados que a gente tem da amostra..

n = 30

x ¯ = 30

s ² = 25

Passo 2

Primeiro vamos fazer um intervalo para a variância σ 2 .

Você lembra a cara desse intervalo? Vou recordar pra você aqui..

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

Aí esses valores de baixo são os que a gente pega na tabela Q u i   Q u a d r a d o .

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1,1 - α 2 2

Passo 3

Vamos achar os valores da tabela...

Quem é α ? Se o intervalo é de 99 % ...

1 - α = 0,99 → α = 0,01

Aí a gente precisa do α 2 e do 1 - α 2 .

α 2 = 0,005       e       1 - α 2 = 0,995

O número de graus de liberdade é n - 1 → 30 - 1 = 29

Podemos procurar na tabela já... cruzando a linha do 29 com as duas colunas certas.. a gente tem:

χ i n f 2 = 13,121

χ s u p 2 = 52,336

Passo 4

Agora é só jogar na fórmula do intervalo, já temos tudo!

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

I C = 25 × 29 52,336     , 25 × 29 13,121

I C = 13,85   ; 55,25

Resposta

a   I C = 13,85   ; 55,25

Exercício Resolvido #4

Um cano deve ser colocado em um fresta já existente. Se o desvio-padrão do diâmetro do cano exceder 0,01mm, haverá uma probabilidade inaceitavelmente alta de que o cano não se ajuste. Uma amostra aleatória de n = 15 peças é selecionada e o diâmetro de cada cano é medido. O desvio-padrão do cano é s = 0,008 m m . Construa um intervalo de confiança de 99% para a variância verdadeira da peça. O cano poderá ser colocado nesta fresta?

Passo 1

Vamos aos dados do problema primeiro:

n = 15   p e ç a s

s = 0,008   m m

Pedem pra gente fazer um intervalo de confiança para a variância verdadeira da peça com 99% de confiança.

Intervalo de confiança pra variância você já está ligado que vamos usar Q u i - Q u a d r a d o .

Passo 2

Pelo que aprendemos, a gente sabe que o I C terá a cara:

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

Vamos calcular o que falta então:

χ i n f 2 = χ n - 1,1 - α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1 , α 2 2

Como a confiança é de 99%.

1 - α = 0,99

α = 0,01

e...

χ α 2 = χ 0,005 ≅ 4,07

χ 1 - α 2 = χ 0,995 = 31,32

Já que são 14 graus de liberdade, concorda?

Passo 3

Agora sim...

χ i n f 2 = χ n - 1,1 - α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1 , α 2 2

χ i n f 2 = 31,32 χ s u p 2 = 4,07

Podemos calcular o I C .

I C = s 2 n - 1 χ i n f 2 , s 2 n - 1 χ s u p 2

= 0,008 ² × 14 31,32 , 0,008 ² × 14 4,07

I C = ( 0,0000286   ; 0,00022 )

Para achar o I C para o caso do desvio padrão, basta tirar a raiz, aí ficaria:

I C = ( 0,00535   ; 0,01483 )

P 0,00535 ≤ σ ≤ 0,01483 = 0,99

Passo 4

O exercício diz que o diâmetro exceder 0,01 m m existe grande chance do cano não se ajustar a fresta.

Como no nosso intervalo abrange o valor de 0,01 m m de desvio padrão, significa que há chance dele exceder 0,01 m m ... isso significa que o cano não deveria ser colocado na fresta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #5

Tintas para marcação em asfalto de rodovias são oferecidas em duas cores, branca e amarela. O tempo de secagem dessas tintas é de muito interesse, e especificamente, suspeita-se que a tinta amarela seca mais rápido do que a branca. Amostras foram obtidas para a medição dos tempos de secagem (em minutos), em condições reais das duas tintas:

c) Obtenha o I C   ( 95 % ) para a variância do tempo de secagem de cada tipo de tinta.

Passo 1

Vamos começar pela tinta branca. Vamos calcular a variância amostral s ² dela, começando calculando a média x - :

x - = ∑ x n = 120 + 132 + 123 + 122 + 140 + 110 + 120 + 107 8 = 121,75

E agora podemos calcular s ² por:

s ² = ∑ ( x - x - ) ² n - 1

s ² = 120 - 121,75 ² + 132 - 121,75 ² + 123 - 121,75 2 + 122 - 121,75 2 + 140 - 121,75 2 + 110 - 121,75 2 + 120 - 121,75 2 + ( 107 - 121,75 ) ² 8 - 1

s ² = 114,5

Passo 2

Como o nível de confiança pedido é de 95 % :

1 - 0,95 = α

α = 0,05

Agora vamos calcular nossos χ ², lembrando que n = 8 . Primeiro o superior:

χ s u p 2 = χ n - 1,1 - α 2 2 = χ 7,0 , 975 2

Procurando o valor desse cara aí na tabela:

χ s u p 2 = 16,013

E agora o inferior:

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 = χ 7,0 , 025 2

Procurando esse qui-quadrado na tabela:

χ i n f 2 = 1,690

Então o I C para a tinta branca, juntando tudo na fórmula, vai ser:

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 ; s 2 n - 1 χ i n f 2

I C = 114,5 × 8 - 1 16,013 ; 114,5 × 8 - 1 1,690

I C B R A N C A = ( 50,05 ; 474,26 )

Passo 3

Agora vamos calcular para a tinta amarela. Primeiro a média amostral:

x - = ∑ x n = 126 + 124 + 116 + 125 + 109 + 130 + 125 + 117 + 129 + 120 10 = 121,5

E agora podemos calcular s ² por:

s ² = ∑ ( x - x - ) ² n - 1

s ² = 126 - 121,5 2 + 124 - 121,5 2 + 116 - 121,5 2 + 125 - 121,5 2 + 109 - 121,5 2 + 130 - 121,5 2 + 125 - 121,5 2 + 117 - 121,5 2 + 117 - 121,5 2 + 129 - 121,5 2 + ( 120 - 121,5 ) ² 10 - 1

s ² = 42 , 7 7

Passo 4

Agora vamos calcular nossos χ ², lembrando que n = 10 e α = 0,05 . Primeiro o superior:

χ s u p 2 = χ n - 1,1 - α 2 2 = χ 9,0 , 975 2

Procurando o valor desse cara aí na tabela:

χ s u p 2 = 19,023

E agora o inferior:

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 = χ 9,0 , 025 2

Procurando esse qui-quadrado na tabela:

χ i n f 2 = 2,700

Então o I C para a tinta branca, juntando tudo na fórmula, vai ser:

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 ; s 2 n - 1 χ i n f 2

I C = 42,7 7 × 10 - 1 19,023 ; 42,7 7 × 10 - 1 2,700

I C A M A R E L A = ( 20,42 ; 143,9 )

Resposta

I C B R A N C A = ( 50,05 ; 474,26 )

I C A M A R E L A = ( 20,42 ; 143,9 )

Exercícios de Livros Relacionados

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