Enunciado

4-118. Suponha que X tenha uma distribuição lognormal, com parâmetros θ = 2 e ω 2 = 4 . Determine o seguinte:

  1. P(X
  2. A probabilidade de X1000
  3. O que a diferença entre as probabilidades dos itens (a) e (b) interfere nos tempos de vida das variáveis aleatórias lognormais?

Passo 1

Seja X a variável lognormal com os parâmetros θ = 2 e ω 2 = 4 . Lembre-se das fórmulas para a função de distribuição cumulativa, média e variância da distribuição lognormal:

F ( x ) = Φ ( l n x - θ ω )

Passo 2

Letra a:

Vamos calcular usando as tabelas:

P ( X < 500 ) = F ( 500 ) = Φ ( l n 500 - 2 2 )   ≈   0.98

Passo 3

Letra b:

Vamos calcular usando a definição de probabilidade condicional e tabelas:

P ( X < 1500 | X > 1000 ) = P ( X > 1000 , X < 1500 ) P ( X > 1000 ) = F ( 1500 ) - F ( 1000 ) 1 - F ( 1000 ) ≈ 0.44

Passo 4

Letra c:

A grande diferença nas probabilidades sugere o processo de envelhecimento (ou similar).

Isso significa que a "taxa de falha" (ou similar) está aumentando com o tempo.

Resposta

  1. 0.98
  2. 0.44
  3. Efeitos de envelhecimento são observados
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