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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 15

A função densidade conjunta de X e Y é:

f x , y = x y ,     0 < x < 1 ,   0 < y < 2 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o

Onde c é uma constante.

(a) X e Y são independentes?

(b) Determine a função densidade de X.

(c) Determine a função densidade de Y.

(d) Determine a função distribuição conjunta.

(e) Determine E(Y).

(f) Determine P(X + Y

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos começar pela letra (a).

Para determinarmos se elas são independentes, precisamos calcular as funções densidade de X e Y. Então aqui já vamos achar a letra (b) e (c).

Beleza, vamos agora calcular a densidade de X :

f X x = ∫ 0 2 f ( x , y ) d y

f X x = ∫ 0 2 x y d y

Integrando em relação a y e calculando os intervalos:

f X x = x y 2 2 0 2

f X x = 2 x

Show, agora vamos fazer o mesmo processo para a densidade de Y :

f Y y = ∫ 0 1 x y d x

Integrando em relação a x e calculando os intervalos:

f Y y = x ² y 2 0 1

f Y y = y 2

Multiplicando, vamos verificar que:

f X x × f Y y = 2 x y 2 = x y

Logo, elas são independentes.

Passo 2

Show, agora vamos para a letra (d). Aqui, vamos determinar a função distribuição conjunta.

P X < x ,   Y < y = P X < x P Y < y  

P X < x ,   Y < y = M i n   1 , x 2   M i n   1 , y 2 4

Passo 3

Beleza, agora vamos para a letra (e). Aqui, vamos calcular E ( Y ) :

E Y = ∫ 0 2 y 2 2 d y

E Y = y 3 6 0 2 = 4 3

Passo 4

Beleza, agora vamos para a letra (f). Aqui, vamos calcular P X + Y < 1 :

P X + Y < 1 = ∫ 0 1 x ∫ 0 1 - x y d y d x

P X + Y < 1 = 1 2 ∫ 0 1 x 1 - x ² d x

P X + Y < 1 = 1 24

Resposta

a )   X   e   Y   s ã o   i n d e p e n d e n t e s

b )   f X x = 2 x

c )   f Y y = y 2

d ) P X < x ,   Y < y = M i n   1 , x 2   M i n   1 , y 2 4

e )   E Y = 4 3

f )   P X + Y < 1 = 1 24

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