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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 37

9-37.Um produtor fabrica cixos para um motor de autonovel.O des-

gaste(0,0001 polegada)dos cixos depois de 100.000 milhas e de inte

resse.visto que e provavel ter um impacto nas reivindicacoes de garan-

tia.Uima amostra aleatoria den-15 eixos e testadae=2.78.Sabe-

se queo=0.9e que o desgaste e normalmnente distribuido.

（a)Teste H:u-3e versus Hp3 usandon=0.05.

（b)Qual e a potencia desse teste se u=3,25?

（c)Que tamanho da amostra seria requerido para detectar uma media

verdadeira de 3.75.se quisessemos que a potencia fosse no mini-

mo 0,97

Passo 1

Uma amostra aleatória de n = 15 eixos é testada e x _ = 278 . Sabe-se que σ = 0.9 e que o desgaste é normalmente distribuído.

Passo 2

Letra a:

Precisamos testar

H 0 : μ = 3

contra

H 1 : μ ≠ 3

usando α = 0.05

O teste de estatística

z 0 = x - - μ σ n = 2.78 - 3 0.9 15 = - 0.9467

Agora é

α = 0.05 ⇒ z α 2 = z 0.05 2 = 1.96

Critério de rejeição para testes de nível fixo:

Se - z α ≤ z 0 ≤ z α   então devemos falhar em rejeitar H 0 . Portanto,

- 0.9467 = z 0 > - z α = - 1.64

E a hipótese H 0 : μ = 3 é verdadeira.

Passo 3

Letra b:

A probabilidade de um erro do tipo II para um teste bilateral na média, com variância conhecida é

β = Φ z α 2 - δ n σ - Φ - z α 2 - δ n σ ,                                               ( 1 )

onde δ = μ - μ 0

Sabe que um valor verdadeiro para a média é μ = 3.25 . Então

δ = 3.25 - 3 = 0.25

Portanto, da Equação (1) e Tabela III do Apêndice, obtemos

β = Φ 1.96 - 0.25 15 0.9 - Φ - 1.96 - 0.25 15 0.9 = Φ ( 0.88 ) - Φ ( - 3.04 ) = 0.809387

Então, a potência deste teste é

1 - β = 0.190613

Passo 4

Letra c:

O tamanho da amostra para um teste bilateral, na média, com variância conhecida é

n = z α 2 + z β 2 σ 2 δ 2

onde, δ = μ - μ 0

A verdadeira média é μ = 3.75 , então δ = 0.75 . A potência de pelo menos 1 - β = 0.9 . Portanto, z β = z 0.1 = 1.29 e

n = ( 1.96 + 1.29 ) 2 0.9 2 0.75 2 = 15.21

Então, o tamanho da amostra é

n ≈ 16

Resposta

  1. - 0.9467 = z 0 > - z α = - 1.64 ,   do que devemos falhar em rejeitar eu H 0
  2. 1 - β = 0.190613
  3. n ≈ 16
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