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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 26

9-26.Acredita-se quep=0,3 seja a proporcao.em Fenix.de moradores

favoravcis a construcao de estradas com pedagios.de moxo a completar o

sistema de rodovias.Se uma amostra alcatoria de 10 moradores mostrar

que l ou menos e favoraivel a essa proposta.concluiremos que p

（a)Encontre a probabilidade do erro tipo l.se a proporcao verdadeira

forp-0.3.

（b)Encontre a prohabilidade de cometer um erro tipo Il com esse pro

cedimento.se p=0.2.

（c)Qual seri a potencia desse procedimento.se a proporcao verdadeira

forp-0.27

Passo 1

E aí galera, vamo lá?

A probabilidade de ter um erro tipo I é

α = P  erro tipo  I = P  rejeita  H 0  quando  H 0  é verdadeiro                                                  ( 1 )

Às vezes, a probabilidade de erro do tipo I é chamada de nível de significância, o erro - α . ou o tamanho do teste.

A proporção de moradores em Phoenix que favorecem a construção de estradas com pedágio para completar o sistema de rodovias é estimada em p = 0.3 . A hipótese H 0 : p < 0.3 é testada versus H 1 : p < 0.3 . Uma amostra aleatória de n = 10 residentes é selecionada.

Seja X : "número de residentes a favor desta proposta", então X é uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros n = 10 e p . Portanto,

P ( X = x ) = n x p x ( 1 - p ) 10 - x                             ( 1 )

para x ∈ { 1 , … , n }

Passo 2

Letra a:

Se uma amostra aleatória de 10 moradores mostrar que 1 ou menos favorece esta proposta, concluiremos que p < 0.3 . Portanto, se for verdade, a proporção é p = 0.3 e a probabilidade de erro tipo I é

α = P ( x - ≤ 1   q u a n d o   p = 0.3 ) = P ( x - = 0   q u a n d o   p = 0.3 ) + P ( x - = 1   q u a n d o   p = 0.3 ) = 1 10 0 0.3 0 ( 1 - 0.3 ) 10 - 0 + 10 1 0.3 1 ( 1 - 0.3 ) 10 - 1 = 1 × 0.7 10 + 10 × 0.3 × 0.7 9 = 0.1493 .

Passo 3

Letra b:

Ao avaliar um procedimento de teste de hipótese, também é importante examinar a probabilidade de um erro do tipo II. Isso é

β = P  erro tipo II = P  falha em rejeitar   H 0  quando  H 0  é falso                        ( 1 )

A proporção verdadeira é realmente p = 0.2 , então, da Equação (1), obtemos

β = P ( x - > 1   q u a n d o   p = 0.2 ) = 1 - P ( x - ≤ 1   q u a n d o   p = 0.2 ) = 1 - P ( x - = 0   q u a n d o   p = 0.2 ) + P ( x - = 1   q u a n d o   p = 0.2 ) = 1 - 10 0 0.2 0 ( 1 - 0.2 ) 10 - 0 + 10 1 1 - 0.2 1 ( 1 - 0.2 ) 10 - 1 = 1 - 1 × 0.8 10 + 10 × 0.2 × 0.8 9 = 0.6242 .

Passo 4

Letra c:

Se a proporção verdadeira for p = 0.2 , a potência deste procedimento é

1 - β = 1 - 0.624 = 0.3758

Resposta

  1. α = 0.1493
  2. β = 0.6242
  3. 1 - β = 0.3758
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