Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 52
9-52.Semear nuvens tem sido estudado durante muitas decadas como
um procedimento de mudanca do tempo(para um estudo interessante
dlesse assunto.vejao artigo em TechnomeiricsA Bavsesten Analvsis
ofa Maltiplicative Treatment Effect in Weather Modification
Uma
Andlise Bayesiana de um Efeito Multiplicativo de um Tratamento na
Modifieacio do Tempo),Vol.17.pp.161-166).A precipitacao
pluviometrica.em acre-pe'.proveniente de 20 nuvens que foram sele-
cionadas aleatoriamente c semeadas com nitrato de prata.segue:18,0:
30.7:19.8:27.1:22.3;18.8:31.8:23,4;21.2:27.9:31.9:27.1:25,0;24,7;
26,9:21.8:29.2:34.8:26.7e 31.6.
（a)Voce pode sustentar a alirmacao de que a preeipitacio media das
nuvens semeadas excede 25 acres-pes?Uise a-0.01.Encontre o
valor P.
（b)Verifique que a precipitacto e normalmente distribuida.
（e)Caleule a potencia do teste.se a precipitacao media verdadeira for
27 acres-pes.
（d)Quc tamanho da amostra seria requerido para detectar uma precipi-
tacao media verdadeira de 27.5 acres pes.se quisessemos que a po-
teneia to teste fosse no minimo 0.9?
（c)Explique como a questao no item(a)podleria ser respondida.cons-
truindo um limite unilateral para a precipitacao media.
Passo 1
A média da amostra é
e o desvio padrão é:
O valor P para o teste contra a alternativa de dois lados é a probabilidade acima de , ou seja
onde usará a estatística de teste
Passo 2
Letra a:
Precisamos testar
Contra
usando
O teste de estatística é
Sabemos que , então, da Tabela V do Apêndice, obtemos
Se então, falhamos em rejeitar .
Portanto,
e concluímos que é verdadeiro.
Agora, da Equação (1), obtemos
Da Tabela V do Apêndice nós sabemos
Portanto,
Então, o valor P é
Passo 3
Letra b:
Um gráfico de probabilidade normal é um método gráfico para determinar se os dados da amostra estão em conformidade com uma distribuição normal hipotética com base em um exame visual subjetivo dos dados.
Para construir um gráfico de probabilidade, as observações na amostra são classificadas primeiro da menor para a maior. Isso é, a amostra é organizado como onde é a menor observação, é a segunda menor observação e assim por diante com a maior. A frequência cumulativa para observação é
Uma probabilidade normal é construída em eixos ordinários traçando as pontuações normais padronizadas contra onde as pontuações normais padronizadas satisfazem
Nos eixos horizontais estão os valores . Se a distribuição hipotética descreve adequadamente os dados, os pontos traçados cairão aproximadamente ao longo de uma linha reta. Se os pontos traçados desviarem significativamente de uma linha reta, o modelo hipotético não é apropriado. Da maneira descrita anteriormente, construímos um gráfico de probabilidade normal com base nas observações 18,0, 30,7, 19,8, 27,1, 22,3, 18,8, 31,8. 23,4, 21,2, 27,9, 31,9. 27,1, 25,0, 24,7, 26,9. 21,8, 29,2. 34,8, 26,7. e 31.6.
O gráfico de probabilidade normal não contém curvatura forte e o padrão é quase linear, então podemos concluir que os valores dos dados são distribuídos aproximadamente normalmente.
Passo 4
Letra c:
Quando o valor verdadeiro da média é , a distribuição de é chamada de distribuição t não central com grau de liberdade e parâmetro de não centralidade . O erro tipo II da alternativa de dois lados seria
onde denota a variável aleatória t não central, ou seja,
Encontrando a probabilidade de erro do tipo II para o teste t envolve encontrar a probabilidade contida entre dois pontos da distribuição t não central. Este problema já foi resolvido, e os resultados são resumidos em uma série de curvas nos Gráficos do Apêndice
VIIe, VIIf, VIIg e VIIh. As curvas são fornecidas para alternativas bilaterais nos Gráficos VIIe e VIIf. Nesses gráficos, o fator d é definido como
Para a alternativa unilateral ou usamos os gráficos VIIg e VIIh.
Nós vemos que d depende do parâmetro desconhecido . Podemos evitar essa dificuldade de várias maneiras. Em alguns casos, poderíamos usar a variância da amostra para estimar um .
Se a verdadeira precipitação média é de 27 acres-pés, então. Então,
Referindo-nos às curvas características de operação no Apêndice Gráfico VIIe (para ) com e , descobrimos que , aproximadamente.
Então, a potência do teste é
Passo 5
Letra d:
Queremos a potência do teste a ser pelo menos e média da amostra verdadeira , então (ver figura anterior, linha verde). Em seguida, vemos que o tamanho da amostra é
Passo 6
Letra e:
Um IC bilateral de na média é
Portanto, um IC bilateral de 99% na média é
Se testarmos
contra
Então deixamos de rejeitar porque .