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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 76

Falha no coração é devida a ocorrência naturais (87%) ou a fatores externos (13%). Fatores externos são relativos a substância induzidas ou a objetos alheios. Ocorrências naturais são causadas por bloqueio arterial, doença e infecção. Suponha que 20 pacientes irão a uma emergência por causa de falha no coração. Suponha que as causas de falha no coração entre os indivíduos sejam independentes.

  1. Qual é a probabilidade de três indivíduos terem condições causadas por fatores externos?
  2. Qual é a probabilidade de três ou mais indivíduos terem condições causadas por fatores externos?
  3. Quais são a média e o desvio-padrão do número de indivíduos com condições causadas por fatores externos?

Passo 1

Temos dados no enunciado:

n = 20

p = 13 % = 0.13

A definição de probabilidade binomial é:

P ( X = k ) = n C k × p k × ( 1 - p ) n - k = n ! k ! ( n - k ) ! × p k × ( 1 - p ) n - k

Passo 2

Letra a:

Vamos avaliar a definição em k = 3 :

P ( X - 3 ) = 20 ! 3 ! ( 20 - 3 ) ! × 0.1 3 3 × ( 1 - 0.13 ) 20 - 3 = 1140 × 0.1 3 3 × 0.8 7 17 ≈ 0.2347

Passo 3

Agora na letra b:

A regra do complemento é:

P ( n ã o   s e r   A ) = 1 - P ( A )

Vamos avaliar a definição para k = 0,1 , 2 :

P ( X = 0 ) = 20 ! 0 ! ( 20 - 0 ) ! × 0.1 3 0 × ( 1 - 0.13 ) 20 - 0 = 1 × 0.1 3 0 × 0.8 7 20 ≈ 0.0617

P ( X = 1 ) = 20 ! 1 ! ( 20 - 1 ) ! × 0.1 3 1 × ( 1 - 0.13 ) 20 - 1 = 20 × 0.1 3 1 × 0.8 7 19 ≈ 0.1844

P ( X = 2 ) = 20 ! 2 ! ( 20 - 2 ) ! × 0.1 3 2 × ( 1 - 0.13 ) 20 - 2 = 190 × 0.1 3 2 × 0.8 7 18 ≈ 0.2618

Usando a regra de complemento para determinar a probabilidade, temos:

P ( X ≥ 3 ) = 1 - P ( X < 3 ) = 1 - P ( X = 0 ) - P ( X = 1 ) - P ( X = 2 )

= 1 - 0.0617 - 0.1844 - 0.2618 = 0.4921

Passo 4

Na letra c:

A média de uma distribuição binomial é o produto do tamanho da amostra n e da probabilidade p :

μ = n p = 20 × 0.13 = 2.6

O desvio padrão de uma distribuição binomial é a raiz quadrada do produto do tamanho da amostra n e das probabilidades p e q . A variância é o quadrado do desvio padrão.

σ = n p q = n p ( 1 - p ) = 20 ( 0.13 ) ( 1 - 0.13 ) ≈ 1.5040

Resposta

  1. 0.2347
  2. 0.4921
  3. Média = 2.6 e Desvio Padrão = 1.5040
Ver Outros Exercícios desse livro

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