9-57.Reconsidere o experimento de testes em pncus.descrito no Exer-

cicio 8-23.

(a)O engenheiro gostaria de demonstrar que a vida media desse novo

pneu tem um excesso de 60.000 quilometros.Formule e teste as hi-

poteses apropriadas e tire conclusoes.usando a=0.05.

(b)Suponha que se a vida media for tao longa quanto 61.000 quilome-

tros.oengenheiro gostaria de deteetar essa diferenca.com probabi

lilade de no minimo0.90.0 tamanho da amostran=16.usad0 n0

item(al.foi adequado?

Passo 1

Um engenheiro de pesquisa de um fabricante de pneus está investigando a vida útil de um novo composto de borracha e construiu n = 16 pneus e os testou até o fim da vida útil em um teste de estrada. Sabemos que o desvio padrão s = 3645.94 , média da amostra x _ = 60139.7

O valor P para o teste H 0 : μ = μ 0 contra a alternativa unilateral H 1 : μ > μ 0 é a probabilidade acima t 0 , ou seja,

P = P T n - 1 > t 0                                       ( 1 )

onde usaremos a estatística de teste

T n - 1 = X - - μ 0 S / n

Passo 2

Letra a:

Precisamos testar

H 0 : μ = 60000

Contra

H 1 : μ > 60000

O teste de estatística é

t 15 = 60139.7 - 60000 3645.94 / 16 = 0.153

Sabemos que α = 0.05 , então

t n - 1 , α = t 15,0.05 = 1.753

Se t n - 1 < t n - 1 , a então, falhamos em rejeitar H 0 .

Portanto,

t 15 = 0.153 < 1.753 = t 15,0.05

e concluímos que H 0 é verdadeiro.

Agora, da Equação (1), obtemos

Valor P  = P T 15 > 0.153

Da Tabela V do Apêndice nós sabemos

P T 15 > 0.258 = 0.4

Portanto,

P T 15 > 0.258 < P T 15 > 0.153 0.4 < P T 15 > 0.153

Então, o valor P é

0.4 < Valor P. 

Passo 3

Letra b:

Quando o valor verdadeiro da média é μ = μ 0 + δ , a distribuição de T 0 é chamada de distribuição t não central com n - 1 grau de liberdade e parâmetro de não centralidade δ n / σ . O erro tipo II da alternativa de dois lados seria

β = P - t n - 1 , α 2 ≤ T 0 ≤ t n - 1 , α 2 ∣ δ ≠ 0 = P - t n - 1 , α 2 ≤ T 0 ' ≤ t n - 1 , α 2

onde T 0 ' denota a variável aleatória t não central, ou seja,

T 0 ' = X - - μ 0 + δ S / n

Encontrando a probabilidade de erro do tipo II para o teste t envolve encontrar a probabilidade contida entre dois pontos da distribuição t não central.

Este problema já foi resolvido, e os resultados são resumidos em uma série de curvas nos Gráficos do Apêndice VIIe, VIIf, VIIg e VIIh. As curvas são fornecidas para alternativas bilaterais nos Gráficos VIIe e VIIf. Nesses gráficos, o fator d é definido como

d = μ - μ 0 σ = | δ | σ

Para a alternativa unilateral μ > μ 0 ou μ < μ 0 usamos os gráficos VIIg e VIIh.

Suponha que a vida média seja tão longa quanto μ = 61000 quilômetros e o engenheiro gostaria de detectar essa diferença com probabilidade de pelo menos 1 - β = 0.90 . Portanto

d = | 61000 - 60000 | 3645.94 = 0.274

Em seguida, do Gráfico do Apêndice VIIg (ver próxima figura, linha verde), concluímos que o tamanho da amostra é

n > 100

E portanto, o tamanho da amostra n = 16 usado na parte (a) não é adequado.

Resposta

  1. t 15 = 0.153 < 1.753 = t 15,0.05  e falhamos em rejeitar   H 0 .  Valor P  > 0.4
  2. O tamanho da amostra é n > 100 e o tamanho da amostra n = 16 usado na parte (a) não é adequado.
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