Enunciado

9-62. Exercicio 6-24 apresentou dados da concentração de sólidos suspensos nal agua de um lago.

(a) Teste as hipóteses. Encontre o valor P.

(b) Verifique a suposição de normalidade.

(c) Calcule a poténcia do teste, se a concentração média verdadeira for tảo baixa quanto 50.

(d) Que tamanho da amostra seria requerido para detectar uma concentração média verdadeira tão baixa quanto 50. se quiséssemos que a potencia do teste fosse no minimo 0.9?

Passo 1

Oi oi gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui de um jeito bem passo a passo pra facilitar a vida de todo mundo!Boraaa

Nos é dado que:

H 0 : μ = 55 H a : μ ≠ 55 n = 60 α = 0.05

Letra a:

A média é a soma de todos os valores divididos pelo número de valores:

x - = 42.4 + 65.7 + 29.8 + … + 59.6 + 66.1 + 31.6 60 ≈ 59.8667

A variância é a soma dos desvios quadrados da média dividida por n - 1 . O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

s = ( 42.4 - 59.8667 ) 2 + … + ( 31.6 - 59.8667 ) 2 60 - 1 ≈ 12.4978

Determine o valor da estatística de teste:

t = x - - μ 0 s / n = 59.8667 - 55 12.4978 / 60 ≈ 3.016

O valor P é a probabilidade de obter o valor da estatística de teste, ou um valor mais extremo. O valor P é o número (ou intervalo) no título da coluna da Tabela V contendo o valor t na linha d f = n - 1 = 60 - 1 = 59 > 40 :

0.002 = 2 × 0.001 < P < 2 × 0.0025 = 0.005

Se o valor P for menor do que o nível de significância, a hipótese nula é rejeitada.

P < 0.05 = 5 % ⇒  Rejeita  H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que a verdadeira concentração média é diferente de 55.

Passo 2

Letra b:

Os valores dos dados estão no eixo horizontal e as pontuações normais padronizadas estão no eixo vertical.

Se os dados contiverem valores de dados, os valores normais padronizadas são os valores z na tabela III correspondentes a uma área de j - 0.5 n (ou a área mais próxima) com j ∈ { 1 , 2,3 , . . . , n } .

A menor pontuação padronizada corresponde ao menor valor de dados, a segunda menor pontuação padronizada corresponde à segunda menor pontuação de dados e assim por diante.

A suposição Normal parece satisfeita, porque o gráfico de probabilidade normal não parece conter uma forte curvatura.

Passo 3

Letra c:

μ a = 50

A potência é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira.

Determine o valor t correspondente a α 2 = 0.025 e d f = n - 1 = 60 - 1 = 59 > 40 na tabela V:

t = ± 2.021

A média da amostra correspondente é a média da população (da hipótese) aumentada pelo produto do valor z e do desvio padrão:

x - = μ + t s n = 55 - 2.021 12.4978 60 ≈ 51.7392 x - = μ + t s n = 55 + 2.021 12.4978 60 ≈ 58.2608

O valor t é a média da amostra diminuída pela média da população (média alternativa), dividida pelo desvio padrão:

t = x - - μ s n = 51.7392 - 50 12.4978 60 ≈ 1.078 t = x - - μ s / n = 58.2608 - 50 12.4978 / 60 ≈ 5.120

Determine a probabilidade de rejeitar a hipótese nula usando a tabela V, que é o número (ou intervalo) no título da coluna da Tabela V contendo o valor t na linha d f = n - 1 = 60 - 1 = 59 > 40 :

0.75 = 1 - 0.25 < P o t ê n c i a < 1 - 0.10 = 0.90

Passo 4

Letra d:

Determine o valor t correspondente a uma potência de 0.9 ( α = 0.05 ) e d f = n - 1 = 60 - 1 = 59 > 40 na tabela V:

t = ± 1.684

Determine o valor t correspondente a α 2 = 0.025 e d f = n - 1 = 60 - 1 = 59 > 40 na tabela V:

t = ± 2.021

A média da amostra correspondente é a média da população (da hipótese) aumentada pelo produto do valor z e o desvio padrão:

x - = μ + t s n = 55 - 2.021 12.4978 n x - = μ + t s n = 55 + 2.021 12.4978 n

O valor t é a média da amostra diminuída pela média da população (média alternativa). dividido pelo desvio padrão:

t = x - - μ s n = 55 - 2.021 12.4978 n - 50 12.4978 n = - 5 - 2.021 12.4978 n 12.4978 n ≈ - 0.4 n - 2.021

t = x - - μ s n = 55 + 2.021 12.4978 n - 50 12.4978 n = - 5 + 2.021 12.4918 n 12.4978 n ≈ - 0.4 n + 2.021

Esses valores devem ser iguais aos valores t correspondentes à potência:

1.684 = - 0.4 n + 2.021

Subtraia 2.021 de cada lado:

- 0.337 = - 0.4 n

Divida cada lado por - 0.4 :

0.8425 = n

Eleve ao quadrado cada lado e arredondado para o número inteiro mais próximo, temos:

n ≈ 0.7098 ≈ 1

Repita este processo para resolver a equação - 1.684 =   - 0.4 n   + 2.021 (as outras duas equações possíveis não têm raízes reais):

n ≈ 85.7939 < 86

O tamanho mínimo da amostra é então o maior tamanho da amostra encontrado a partir dessas equações: n = 86 .

Resposta

  1. 0.002 < P < 0.005 . Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que a verdadeira concentração média é diferente de 55.
  2. Satisfaz
  3. 0.75 < P o t ê n c i a < 0.90
  4. n = 86
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