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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 67

9-67. Considere o teste de. Aproxime o valor P para cada uma das seguintes estatisticas de teste.

x 0 2 = 25.2   e   n = 20 x 0 - - 15 .   e   n = 12 x 0 2 - 4.2 e   n - 15

Passo 1

Oi oi gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui de um jeito bem passo a passo pra facilitar a vida de todo mundo!Boraaa

Suponha que desejamos testar a hipótese de que a variância de uma população normal σ 2 é igual a σ 2 0 . Seja X 1 , X 2 , . . . X n   uma amostra aleatória de uma observação desta população. Para testar

H 0 : σ 2 = σ 0 2 ,  contra  H 1 : σ 2 < σ 0 2

vamos usar a estatística de teste:

χ 0 2 = ( n - 1 ) S 2 σ 0 2                 ( 1 )

A estatística de teste χ 2 0 definida na Equação (1) segue a distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, se a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 é verdadeira. Para realizar um teste de nível de significância fixo, pegaríamos uma amostra aleatória da população de interesse e calcularíamos χ 2 0 , que é o valor da estatística de teste χ 2 0 e a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 seria rejeitada se:

χ 0 2 < χ 1 - α , n - 1 2

onde χ 2 α , n - 1 é o 100 α ponto percentual da distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, respectivamente.

Além disso, esses pontos representam os valores críticos para a estatística de teste χ 2 0 .

O valor P para um teste de cauda inferior seria encontrado como a área (probabilidade) na cauda inferior da distribuição do qui-quadrado à esquerda (ou abaixo) do valor calculado da estatística de teste χ 2 0 . Para a alternativa de dois lados, encontre a área da cauda associada ao valor calculado da estatística de teste e duplique-a para obter o valor P.

Portanto, o valor P para este teste é:

valor P  = P χ 0 2 > χ 1 - α , n - 1 2                   ( 2 )

Consideramos o teste de H 0 : σ 2 = 5 , contra H 1 : σ 2 < 5 .

Passo 2

Letra a:

Sabemos que o valor da estatística de teste é χ 2 0 = 25.2 e o tamanho da amostra n = 20 .

Da Equação (2) obtemos:

Valor P  = P χ 1 - α , 19 2 < 25.2

Agora, da Tabela IV do Apêndice nós sabemos

P χ 1 - α , 19 2 > 18.34 = 0.5 P χ 1 - α , 19 2 > 27.20 = 0.1

Então,

P χ 1 - α , 19 2 > 27.20 < P χ 1 - α , 19 2 > 25.2 < P χ 1 - α , 19 2 > 18.34 1 - P χ 1 - α , 19 2 > 18.34 < 1 - P χ 1 - α , 19 2 > 25.2 < 1 - P χ 1 - α , 19 2 > 27.20 1 - 0.5 < P χ 1 - α , 19 2 < 25.2 < 1 - 0.1

Portanto, o valor P é:

0.5 < valor P < 0.9

Passo 3

Letra b:

Sabemos que o valor da estatística de teste é χ 2 0 = 15.2 e o tamanho da amostra n = 12 .

Da Equação (2) obtemos:

valor P  = P χ 1 - α , 11 2 < 15.2

Agora, da Tabela IV do Apêndice nós sabemos

P χ 1 - α , 11 2 > 10.34 = 0.5 P χ 1 - α , 11 2 > 17.28 = 0.1

Então,

P χ 1 - α , 11 2 > 17.28 < P χ 1 - α , 11 2 > 15.2 < P χ 1 - α , 11 2 > 10.34 1 - P χ 1 - α , 11 2 > 10.34 < 1 - P χ 1 - α , 11 2 > 15.2 < 1 - P χ 1 - α , 11 2 > 17.28 1 - 0.5 < P χ 1 - α , 11 2 < 15.2 < 1 - 0.1

Portanto, o valor P é:

0.5 < v a l o r   P < 0.9

Passo 4

Letra c:

Sabemos que o valor da estatística de teste é χ 2 0 = 4.2 e o tamanho da amostra n = 15 .

Da Equação (2) obtemos:

valor P  = P χ 1 - α , 14 2 < 4.2

Agora, da Tabela IV do Apêndice nós sabemos

P χ 1 - α , 14 2 > 4.07 = 0.995 P χ 1 - α , 14 2 > 4.66 = 0.99

Então,

P χ 1 - α , 14 2 > 4.66 < P χ 1 - α , 14 2 > 4.2 < P χ 1 - α , 14 2 > 4.07 1 - P χ 1 - α , 14 2 > 4.07 < 1 - P χ 1 - α , 14 2 > 4.2 < 1 - P χ 1 - α , 14 2 > 4.66 1 - 0.995 < P χ 1 - α , 14 2 < 4.2 < 1 - 0.99

Portanto, o valor P é:

0.005 < valor P < 0.01

Resposta

  1. 0.5 < v a l o r   P < 0.9
  2. 0.5 < v a l o r   P < 0.9
  3. 0.005 < v a l o r   P < 0.01
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