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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 73

9.73. Dados para a vida de pneus foram desentos no Exereício 8-23. 0 desvio-padrao da amosra foi 36-45,94 quilômeiros e n = 16.

a) Vocé pode concluir. usando u 0.05. que o desvio-padrāo da vida de um pneu é menor do que 4000 quilometros? Esabeleça quaisquer suposições necessárias acerca da distribuicão em foco dos dados. Encontre o valor P para esse teste.

b) Explique como vocé responderia a pergunta do item ía) construindo um intervalo unilateral de confiança de 955% para

Passo 1

Oi oi gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui de um jeito bem passo a passo pra facilitar a vida de todo mundo!Boraaa

Suponha que desejamos testar a hipótese de que a variância de uma população normal σ 2 é igual a σ 2 0 . Seja X 1 , X 2 , . . . X n   uma amostra aleatória de uma observação desta população. Para testar

H 0 : σ 2 = σ 0 2 ,  contra  H 1 : σ 2 < σ 0 2

vamos usar a estatística de teste:

χ 0 2 = ( n - 1 ) S 2 σ 0 2             ( 1 )

A estatística de teste χ 2 0 definida na Equação (1) segue a distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, se a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 é verdadeira. Para realizar um teste de nível de significância fixo, pegaríamos uma amostra aleatória da população de interesse e calcularíamos χ 2 0 , que é o valor da estatística de teste χ 2 0 e a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 seria rejeitada se:

χ 0 2 < χ 1 - α , n - 1 2

onde χ 2 α , n - 1 é o 100 α ponto percentual da distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade.

O valor P para um teste de cauda inferior seria encontrado como a área (probabilidade) na cauda inferior da distribuição do qui-quadrado à esquerda (ou abaixo) do valor calculado da estatística de teste χ 2 0 . Para a alternativa de dois lados, encontre a área da cauda associada ao valor calculado da estatística de teste e duplique-a para obter o valor P.

Portanto, o valor P para este teste é:

valor P  = P χ 0 2 > χ 1 - α , n - 1 2           ( 2 )

Sabemos que o desvio padrão da amostra foi s = 3645.94 quilômetros e n = 16 .

Passo 2

Letra a:

Consideramos o teste de H 0 : σ = 4000 contra H 1 : σ < 4000 .

Agora, da Equação (1) obtemos valor para a estatística de teste

χ 0 2 = ( 16 - 1 ) 3645.94 2 4000 2 = 12.462

Para α = 0.05 e da Tabela IV do Apêndice, obtemos.

χ 1 - 0.05,15 2 = 7.26

Então

χ 0 2 = 12.462 > 7.26 = χ 1 - 0.05,15 2

Agora, da Equação (2), concluímos que falhamos em rejeitar H 0 .

Da Equação (2), obtemos

valor P  = P χ 1 - α , 15 2 < 12.462

Nós sabemos do que do Apêndice Tabela IV, temos

P χ 1 - α , 15 2 > 8.55 = 0.9 P χ 1 - α , 15 2 > 14.34 = 0.5 .

Então

P χ 1 - α , 15 2 > 14.34 < P χ 1 - α , 15 2 > 12.462 < P χ 1 - α , 15 2 > 8.55 1 - P χ 1 - a , 15 2 > 8.55 < 1 - P χ 1 - α , 15 2 > 12.462 < 1 - P χ 1 - α , 15 2 > 14.34 1 - 0.9 < P χ 1 - a , 15 2 < 12.462 < 1 - 0.5

Portanto, o valor P é

0.1 < valor P  < 0.5

Passo 3

Letra b:

Se s 2 é a variância da amostra de uma amostra aleatória de n observações de uma distribuição normal com variância desconhecida σ 2 , então, um limite de confiança inferior de 100 ( 1 - α ) % em σ 2 é

σ ≤ n - 1 s 2 χ 1 - α , n - 1 2                 ( 1 )

onde χ 2 α , n - 1 é o 100 α ponto percentual da distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade.

Agora, da Equação (1), obtemos

σ ≤ 15 × 3645.94 2 7.26

Então, um intervalo de confiança unilateral de 95% para σ   é

σ ≤ 5240

Falhamos em rejeitar H 0 porque 3645.94 pertencem a I C ( ∞ ,   5240 ) .

Resposta

  1. Nós falhamos em rejeitar H 0 porque χ 2 0 = 12.462 > 7.26 = χ 2 1 - 0.05,15 , 0.1 < v a l o r   P < 0.5
  2. σ ≤ 5240
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