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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 76

9.76. Suponha que 1000 consumidores sejam entrevistados e 850 declarem estar satisfeitos ou muito satisfeitos com os produtos e serviços de uma certa corporação.

(a) Teste a hipótese , com a 0,05. Encontre o valor p.

(b) Explique como a questão do item (a) poderia ser respondida pxla construção de um intervalo bilateral de confiança de 95% para p.

Passo 1

Oi oi gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui de um jeito bem passo a passo pra facilitar a vida de todo mundo!Boraaa

Suponha que uma amostra aleatória de tamanho n   tenha sido obtida de uma grande população e que X observações nesta amostra pertençam a uma classe de interesse. Então

P ^ = X n                 1

é um estimador pontual da proporção da população p . Se p   não estiver muito próximo de 0 ou 1 e se n for relativamente grande, a distribuição amostral de P é aproximadamente normal com média p e variância p ( 1 - p ) / n . Para aplicar esta aproximação, exigimos que n p e n ( 1 - p ) sejam maiores ou iguais a 5.

Consideraremos testar:

H 0 : p = p 0

Contra

H 0 : p ≠ p 0

Para testar H 0 , calcule a estatística de teste

Z 0 = X - n p 0 n p 0 1 - p 0                   2

é aproximadamente normal padrão e determina o valor P. Como a estatística de teste segue uma distribuição normal padrão se H 0 for verdadeiro, o valor P é

valor P  = 2 P 1 - Φ z 0        (3) 

Suponha que de n = 1000 consumidores entrevistados, x = 850 estão satisfeitos ou muito satisfeitos com os produtos e serviços de uma corporação.

Passo 2

Letra a:

Consideramos o teste de

H 0 : p = 0.9

Contra

H 1 : p ≠ 0.9

Da Equação (1) a amostra p

p ^ = 850 1000 = 0.85

O valor Z que obtemos da Equação (2) é

z 0 = 850 - 1000 × 0.9 1000 × 0.9 ( 1 - 0.9 ) = - 5.27

Agora, da Tabela III do Apêndice, obtemos

α 0.05 2 = α 0.025 = - 1.96

Então

z 0 = - 5.27 < - 1.96 = α 0.05 2

Então, concluímos que rejeitamos H 0 .

Passo 3

Letra b:

O IC de 95 % é:

p ^ - z α 2 p ^ 1 - p ^ n ≤ p ≤ p ^ + z a 2 p ^ 1 - p ^ n 0.85 - 1.96 0.85 1 - 0.85 1000 ≤ p ≤ 0.85 + 1.96 0.85 1 - 0.85 1000 0.828 ≤ p ≤ 0.872

O valor 0.9 não pertence ao I C ( 0.828 ,   0.872 ) , então, rejeitamos H 0 .

Resposta

  1. Nós rejeitamos H 0 , porque z 0 =   - 5.27 < - 1.96 = α 0.05 2
  2. 0.828 ≤ p ≤ 0.872
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