Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 52
Uma amostra aleatória de 50 capacetes de corredores de motos e de automóveis foi submetida a um teste de impacto, sendo observado algum dano em 18 desses capacetes.
(a) Encontre um intervalo bilateral de confianca de 95% para a proporção verdadeira de capacetes desse tipo que mostraria algum dano proveniente desse teste.
(b) Usando a estimativa pontual de p, obtida a partir da amostra preliminar de 50 capacetes, quantos capacetes tém de ser testados para estarmos 95% confiantcs de que o erro na estimação do valor verdadeiro de p scja menor do que 0,02?
(c) Quão grande tera de ser a amostra, se desejarmos estar no minimo 95% confiantes de que o crro na estimação de p seja menor do que 0,02, independentemente do valor verdadeiro de p?
Passo 1
Vamos lá pessoal, se liga aqui como que resolve essa questão:
Se é a proporção de observações em uma amostra aleatória de tamanho n que pertence a uma classe de interesse, um intervalo de confiança aproximada de na proporção p da população que pertence a esta classe é
onde é o ponto percentual superior da distribuição normal padrão.
Este procedimento depende da adequação da aproximação normal ao binomial. Para ser razoavelmente conservador, isso requer que np e sejam maiores ou iguais a 5. Em situações em que esta aproximação é inadequada, principalmente nos casos em que n é pequeno, outros métodos devem ser usados.
A estimativa pontual da proporção da população p é:
e
Passo 2
Letra a:
Para um intervalo de confiança bilateral de 95%:
e
Portanto, a partir das equações anteriores, um IC bilateral de 95% na verdadeira proporção de capacetes que apresentariam danos no teste é:
que simplifica para
O tamanho da amostra para um erro especificado em uma proporção binomial é:
Passo 3
Letra b:
O erro em estimar o valor real de p é:
Das equações, temos:
Portanto, o tamanho da amostra é
Então, estar confiante de que o erro na estimativa de p por é menor do que E, se o tamanho da amostra for
¿
Passo 4
Letra c:
Sabemos que o erro em estimar o valor real de p é E = 0.02 e , então das equações obtemos
E, portanto, o tamanho da amostra é